1-Variable Real, Análisis de preguntas de Verdadero/Falso en Supremum, Infimum, y las Desigualdades con ellos

Question

(S. Abbott. La comprensión de Análisis 1 ed. pp 18 pregunta 1.3.9) me pide responder a las siguientes preguntas sin ningún tipo de pruebas. Tengo cierta intuición para ellos, pero tenía la esperanza de conseguir alguna entrada externa así. Sería grande si usted podría dar algunas explicaciones rigurosas a la intuición detrás.

a) Un finito, no vacío conjunto siempre contiene su supremum. - Creo que esto es Cierto.

b) Si $a < L$ por cada elemento de a $a$ en el conjunto de $A$, entonces sup$A < L$. - Creo que esto es Falso, ya que podría ser $\leq$.

c) Si $A$ $B$ se establece con la propiedad de que $a < b$ por cada $a \in A$, y cada una de las $b \in B$, entonces se sigue que sup$A < $ inf$B$. - Creo que, de nuevo, es $\leq$ y no estrictamente menor.

d) Si sup$A$ = $s$, y sup$B$ = $t$, entonces sup($A+B$)=$s+t$. $A+B={a+b | a \in A, b \in B}$. - Yo creo que es Cierto, después de pensar en varios ejemplos con los conjuntos que hacer y no contienen sus suprema, pero no estoy seguro.

e) Si sup$A \leq$ sup$B$, entonces existe un elemento $b \in B$ que es un límite superior para $A$. - Pensé que esto era Falso, ya que podemos establecer $B=A$, y la condición de superma se mantenga, sin embargo, elegir un $A$ que no contiene su propia supremum.

Gracias!

Answer 1

a) Correcto. Usted puede formalmente probar esto por inducción. Para el caso de un punto, se observa que la $x=\sup\{x\}\in\{x\}$. Supongamos que es cierto para conjuntos que contengan $n$ números reales, donde $n$ es un entero positivo. Si $\{x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}\}$ es un conjunto de $n+1$ números reales, entonces, por la hipótesis de $\sup\{x_1,\ldots,x_n\}=x_k$ algunos $k\in\{1,\ldots,n\}$, e $\sup\{x_1,\ldots,x_{n+1}\}=\max\{x_k,x_{n+1}\}\in\{x_1,\ldots,x_{n+1}\}$.

b) Correcto. ¿Puede dar un ejemplo en el que la igualdad se mantiene? (Actualización: Gortaur ahora se ha dado un ejemplo.)

c) Ver b)

d) Correcto, es cierto. Ver esta otra pregunta.

e) Correcta, por las razones adecuadas. ¿Puede dar un ejemplo claro? (Sugerencia: Vea Gortaur del ejemplo b).)

Tenga en cuenta que para los que son falsas (b, c, e), todo lo que usted necesita hacer para hacer que sus respuestas más formal es para dar un ejemplo. Para los que son verdaderos (a,d), será necesario aportar la prueba.

Answer 2

Desde que usted nos pidió que proporcionar una prueba formal, espero que mi respuesta es relevante.

a) creo que esto es un subconjunto de a $\mathbb{R}$. Llamamos a este conjunto finito $A$ y put $A = n$%. Para cada uno de los dos elementos de la $a,b\in A$ hay tres posibilidades: $a<b$ o $b<a$ o $a=b$. Para cada una de las $a\in A$ hay $B(a) = \{b\in A: a>b\}$ que es también finito.

1. Comience con cualquier $a_1\in A$,$B(a_1)\leq n-1$%.

2. Tome $a_2\in B(a_1)$,$B(a_2)\leq n-2$%.

3. Ten en cuenta que no ser $k\leq n$ tal que $B(a_k) = 0$%. (Suponga contrario - a continuación, $B(a_{n+1})\leq -1$ % - contradicción con la no-negatividad de $B(a)$% cualquier $a\in A$).

4. Para cada una de las $a\in A$ tenemos $a\leq a_k$. (Suponga contrario - a continuación,$B(a_k)\geq 1$%, contradiciton). Por otra parte $a_k\in A$, lo $a_k=\max\limits_{a\in A} \,\,\,a$.

b) Considere la posibilidad de $a\in [0,1)$$L=1$.

c) Considere la posibilidad de $A = [0,1)$$B = (1,2)$.

D) Jonas dio ya un enlace, e) se demostró formalmente.