Soy más familiar con la notación $a \equiv b \pmod c$, pero creo que esto es equivalente a $a \bmod c = b \bmod c $, lo que deja claro que deberíamos usar $=$ en lugar de $\equiv.
¿Cuál es la razón del cambio de signo? Si es para enfatizar que la equivalencia modular es una relación congruente, ¿por qué no usamos el signo $\equiv$ en ambas notaciones?
Esta respuesta es incorrecta, si quisieras hacer una analogía correcta sería "La clase de seres vivos de Jeffrey = La clase de seres vivos de Joseph" vs "Jeffrey $\equiv$ Joseph (clase de seres vivos)".
¿Es el Lucian de hace 8 horas el mismo Lucian de ahora, o esto también es solo una igualdad módulo de la evolución del tiempo?
Prefiero usar exclusivamente la congruencia (veo la operación del resto como una fuente de dolor de cabeza, aunque me doy cuenta de que es un mal necesario en la informática).
Pero uso tanto el signo igual ($=$) como el signo congruente a ($\equiv$) juntos al procesar un cálculo extenso en aritmética modular. Mis estudiantes de álgebra de primer año rápidamente captan mis cálculos como $$ 12^{3004}\equiv5^{3004}=5^{3000}\cdot 5^4=(5^6)^{500}\cdot 5^4\equiv 1^{500}\cdot5^4=25^2\equiv4^2=16\equiv2\pmod7. $$ En otras palabras, uso $=$ cuando hay igualdad de enteros entre los pasos, y $\equiv$ cuando me refiero a una congruencia. La potencia de las leyes obedecidas por las congruencias es evidente. Verificar/seguir el progreso del cálculo es más fácil de esta manera. Por supuesto, usar $\equiv$ todo el tiempo también es correcto. El $\equiv$ está allí como recordatorio de que en este paso hacemos algo que solo resulta en una congruencia.
A medida que los estudiantes se familiarizan con el lenguaje de los anillos de clases de residuos, gradualmente dejo de hacer la distinción entre $=$ y $\equiv, así como, si el contexto lo permite, la distinción entre $n$ y $\overline{n}.
Pensar en cómo se vería eso hecho por alguien que solo está familiarizado con el módulo binario me hace estremecer.
Lo siento por las partes un poco críticas. Es raro que logre desaprovechar la oportunidad de criticar el uso de modulación binaria. En mi humilde opinión, es un cáncer de teoría de números elemental en el peor de los casos, y, en el mejor de los casos, un intento de ocultar (de los estudiantes inocentes) el hecho de que los cálculos ahora tienen lugar en un anillo de clases de residuos en lugar de en el anillo de enteros.
Entonces, ¿algunas personas están usando ahora mod binario en teoría de números? Si es así, apoyo tu discurso. Uso mod binario con frecuencia en software, donde los beneficios parecen valer la pena los dolores de cabeza, a veces porque no siempre es conveniente almacenar el resultado de un cálculo como una clase de residuos en lugar de como un número, a veces como una forma conveniente de decidir qué arco entre dos puntos en un círculo es más corto. Y por lo tanto estoy familiarizado con cosas que hacen que el operador sea un problema en teoría de números, como el hecho de que la gente no está de acuerdo en cómo lidiar con operandos negativos.
@DavidK: Dudo que alguien esté usando el mod binario en teoría de números. Solo he visto a muchos estudiantes confundidos de informática tomando un curso de criptografía en nuestro departamento, y a ingenieros de software sonrientes dándome una conferencia sobre cómo debo insertar una cantidad de mods en ciertos lugares en alguna fórmula para que funcione como un fragmento de Matlab. Me doy cuenta de la necesidad de esto en el software. He creado errores cuando no sabía que para un procesador el rango de mod binario puede variar según el signo :-) Afortunadamente, tal programa actuará mal tarde o temprano, por lo que la depuración es fácil (excepto la primera vez).
Depende de cómo defines tu notación. La definición estándar de congruencia es $a \equiv b \pmod c$ si y solo si $c \mid (b-a)$. La expresión independiente $b \pmod c$ no está definida, por lo tanto, no es igual a nada.
Por otro lado, algunas personas prefieren escribir "$b \bmod c$" para representar el menor número no negativo $d$ que satisface $d \equiv b \pmod c$. Si adoptas esta notación, entonces es cierto que $a \equiv b \pmod c$ si y solo si $(a \bmod c) = (b \bmod c)$.
Esas "algunas personas" pueden haberlo obtenido de la programación de computadoras, donde el módulo es un operador bastante común cuya semántica se asemeja a la que describes.
@Kevin Sin embargo, los paréntesis se colocan de manera diferente en los dos casos. Cuando se refiere al operador binario, no se coloca un paréntesis de inicio justo antes del operador.
Quizás se vea como algún extraño operador prefijo unario...? Quiero decir, (mod 5) sí parece a LISP...
La cosa es que un módulo c está definido como el resto de dividir a entre c, y por definición, eso es un número no negativo.
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Supongo que es para que no tengas que escribir $\mod c$ dos veces. Y un signo de igualdad no sería matemáticamente correcto en ese contexto.
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El espaciado es (en mi humilde opinión) mejor si usas
\bmod= módulo binario, cuando te refieres a la operación que calcula el resto de una división de un número entero por otro.0 votos
Algo relacionado (relevante para la expresión $a \bmod c$): 'mod' o 'símbolo de resto' válido en matemáticas?