Pregunta:
Deje $f: \mathbb R \to \mathbb R$ ser continua y abierta, que es el si $A \subset \mathbb R$ está abierto, a continuación, $f(A) \subset \mathbb R$ está abierto. Demostrar que $f$ es inyectiva.
Intento:
Supongamos $f$ no es inyectiva entonces no salir de $x, y \in \mathbb R$ tal que $$x < y \implies f(x) = f(y) = c$$
Tomar el cerrado inteval $[x,y] \subset \mathbb R$ $f$ es continuo, a continuación, $\displaystyle {f|_{[x,y]}}$ es continua, por el Teorema de Weierstrass tenemos que $f$ tiene un máximo o un mínimo.
Supongamos $m = \max \{f(a) ; a \in [x,y]\}$. Ahora hay $x' \in [x,y]$ tal que $f(x') = m$. Si tomamos el abra $(x'-\delta, x'+\delta)$ centrada en $x'$ y hemos
(1) Si $m = c$ $f$ es constante en el intervalo de $[x,y]$$f((x'-\delta, x'+\delta)) = \{c\}$, que es cerrada, por lo tanto una contradicción;
(2) Si $m \neq c$ entonces tendríamos $f((x'-\delta, x'+\delta)) = (b, m]$ donde $b$ también puede ser $b = \infty$. De nuevo una contradicción.
Bueno, este es mi menos vergonzoso intento. No estoy seguro de cómo mostrar $(2)$ $100 \%$.
También he tratado de mostrar a $f^{-1}f(A) = A$ cualquier $A \subset \mathbb R$, trató de trabajo conecta en el espacio de $\mathbb R$ por la búsqueda de una contradicción en el uso de los intervalos de $E_{[f > c]}$ $E_{[f < c]}$ abierto al $A$ está abierto.
Los pensamientos?
Nota: ya he visto esto para probar algo, pero el hecho de que $f$ es monotono en este ejercicio viene como consecuencia.
