La solución de una ecuación logarítmica $\log_2 (2^x-1)+x=\log_4 (144)$

Question

Necesito solucionar esto: $$\log_2 (2^x-1)+x=\log_4 (144)$$ Puedo trabajar que a $x=\log_2 (2^x)$ $\log_4 (144)=log_2(12)$ pero estoy atascado después de eso.

Answer 1

Un buen enfoque: $$\log_2 (2^x-1)+x=\log_4 (144)$$ $$\log_2 (2^x-1)+x=\log_2 (12)$$ $$x=\log_2 (12)-\log_2 (2^x-1)$$ $$x=\log_2\frac{12}{2^x-1}$$ $$2^x=\frac{12}{2^x-1}$$ Decir $2^x=a$ $$a^2-a-12=0$$ $$(a-4)(a+3)=0$$ $$a=4,-3$$

Pero $2^x$ no puede ser negativo.

Así, $$2^x=4=2^2$$ i.e. $$x=2$$

Answer 2

Aviso, el logaritmo de la fórmula: $\color{blue}{\log_{a^m}(b^n)=\frac{n}{m}\log_a(b)}$, $$\log_2(2^x-1)+x=\log_4(144)$$ $$\log_2(2^x-1)+\log_2(2^x)=\log_{2^2}(12^2)$$ $$\log_2(2^x(2^x-1))=\frac{2}{2}\log_{2}(12)=\log_2(12)$$ desde entonces, el logaritmo es una función, por tanto, la comparación de los números en la misma base $2$ en ambos lados, uno debe obtener $$2^x(2^x-1)=12$$ $$(2^x)^2-2^x-12=0$$ $$(2^x+3)(2^x-4)=0$$ $$\implies 2^x=-3, 4$$ but $2^x>0\ \ \ \forall \ \ \ x\in R$, hence one should have $$2^x=4\iff 2^x=2^2$$ $$\color{red}{x=2}$$