Sus correspondencias son similares, pero no es del todo correcto, y no bien justificada. La falta crucial condición es: $$a,b,ab\in\Bbb C\setminus\{t\in\Bbb R:t\le 0\}\tag{$\estrella de$}$$
Tenga en cuenta que $\sqrt{|ab|}=\sqrt{|a||b|}=\sqrt{|a|}\sqrt{|b|}$ por las propiedades de los números reales positivos. Por lo tanto, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ si y sólo si ambas $(\star)$ y $$\operatorname{cis}\frac{\operatorname{Arg}(ab)}2=\operatorname{cis}\frac{\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)}2\tag{1}$$ hold. (Here, I use the abbreviation $\operatorname{cis}\theta:=\cos\theta+i\cdot\sin\theta$.) From this, we cannot directly conclude that $\operatorname{Arg}(ab)=\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b),$ because the cosine and sine functions are periodic! Thus, $(1)$ holds if and only if $$\frac{\operatorname{Arg}(ab)}2=\frac{\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)}2+2\pi k\tag{2}$$ for some integer $k,$ which holds if and only if $$\operatorname{Arg}(ab)=\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)+4\pi k\tag{3}$$ for some integer $k.$
Ahora, por definición de argumento principal, el lado izquierdo de $(3)$ es un número en el intervalo de $(-\pi,\pi],$, mientras que el lado derecho de la $(3)$ puede (y debe) ser demostrado ser un elemento de $(-2\pi+4\pi k,2\pi+4\pi k].$ Para cualquier entero $k\ne0,$ estos dos intervalos disjuntos, y así llegamos a la conclusión de que $k=0,$ donde $(3)$ mantiene si y sólo si $$\operatorname{Arg}(ab)=\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b).\tag{4}$$
Ahora, por un lado, es fácil demostrar que si $\lvert\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\rvert>\pi,$ $(4)$ no se sostiene, y si $\lvert\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\rvert=\pi,$ $(\star)$ no posee. Por lo tanto, si $\lvert\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\rvert\ge\pi,$ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ no posee. Por contrapositivo, $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\implies\lvert\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\rvert<\pi.$$
Por otro lado, es bastante sencillo probar que $$\lvert\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\rvert<\pi\implies\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b},$$ darnos una buena equivalencia.
Añadido: Usted puede estar preguntándose por qué nos tomamos la molestia con la condición de $(\star),$ en el primer lugar. Después de todo, se podría decir fácilmente que $\sqrt0=0,$ y el uso de $\sqrt{z}=\sqrt{|z|}\operatorname{cis}\frac\pi2=i\sqrt{|z|}$ $z$ real negativo, así que ¿por qué no hacemos eso? Bueno, hay un número de razones para no hacerlo, en realidad.
Una cosa muy agradable acerca de la función de $\sqrt t$ sobre el positivo reales es que es continua, e incluso diferenciable! Nos encantaría el complejo de la versión que tienen la misma propiedad, que es imposible de hacer si tratamos de extender a todo el avión. En efecto, considerar la función de $z(\theta)=\operatorname{cis}\theta$, y tenga en cuenta que $\lim_{\theta\to\pi}z(\theta)=\lim_{\theta\to-\pi}z(\theta)=-1.$ sin Embargo, nos encontramos con que $$\lim_{\theta\searrow-\pi}\sqrt{z(\theta)}=-i\ne i=\lim_{\theta\nearrow\pi},$$ and so we cannot continuously define the function at $-1$ (o cualquier otro número real negativo), y mucho menos differentiably!
Ahora, si nos relajamos nuestros requisitos muy ligeramente, podemos continuamente (aunque no differentiably) ampliar la función diciendo $\sqrt0=0,$ pero no podemos hacer mejor si se requieren continuidad.
Si dejamos caer la continuidad, sin embargo, ¿por qué no vamos a $\sqrt{-t}=i\sqrt t$ reales positivos $t$? Bueno, que invita a la cuestión de lo $i$ es, en primer lugar. Es una raíz cuadrada de $-1.$, Pero no hay ninguna razón sustancial por qué debemos dar $i$ cualquier preferencia sobre su opuesto, cuando la elección de un valor para $\sqrt{-1}.$
Por supuesto, nosotros ciertamente puede extender a ser definido en todas partes como lo sugieren. Si lo hacemos, a continuación, $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ mantiene si y sólo si uno de los siguientes sostiene:
- $a=0$
- $b=0$
- $ab\ne 0$ $-\pi<\operatorname{Arg}(a)+\operatorname{Arg}(b)\le\pi$
