Extraño isomorphisms de infinito grupos

Question

De acuerdo a mi interpretación a una de las respuestas en la División en Breve secuencia exacta, $$\Bbb R \cong \Bbb Q \oplus \Bbb R / \Bbb Q$$

también, de acuerdo a Lo que se conoce sobre el cociente grupo $\mathbb{R} / \mathbb{Q}$?

$$\Bbb R \cong \Bbb R / \Bbb Q$$

como grupos.

Esto me parece muy extraño para mí, como si la suma directa de con $\Bbb Q$ no añade nada a la estructura del grupo en todo, en cualquier forma, incluso "attacted" en el lado por separado. En primer lugar, me preguntaba si esto es cierto, y si es así si alguien podría construir un buen isomorfismo de grupos, de modo que podemos ver de forma explícita que:

$$\Bbb Q \oplus \Bbb R / \Bbb Q \cong \Bbb R / \Bbb Q$$

Answer 1

La razón por la que esto puede parecer extraño es porque tendemos a pensar de $\mathbb{R}$ como uno tridimensional, un solo objeto, por lo que la idea de que quotienting a cabo por algunos no trivial subobjeto no cambia, naturalmente, es algo extraño. Sin embargo, permítanme darles una forma más intuitiva ejemplo. Supongamos que usted ha $A = \mathbb{Z}$ (o $\mathbb{Q}$, ... o cualquier otro grupo abelian). Deje $$A = A_0 = A_1 = A_2 = ... $$ Ahora considere la posibilidad de $$B = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus A_3...$$ $$B' = A_1 \oplus A_2 \oplus A_3 \oplus A_4 ... $$ Bien claramente por sólo el reetiquetado de los índices que hemos $B \cong B'$. Pero, al mismo tiempo,$B' \cong B/A_0$, o pensar de otra manera $B \cong A \oplus B'$. Así que, claramente, cuando se pega junto infinitamente muchas copias de un mismo grupo, añadiendo otra copia no cambia nada acerca de la estructura. Tenga en cuenta que mientras que el anteriormente utilizado countably muchos índices para la simplicidad, funciona para cualquier infinita suma directa.

Ahora, la cosa es que una vez que descartamos el orden y las estructuras de campo de los reales, y sólo pensar en ellos como un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, ya que no están en una dimensión. Son un espacio vectorial, pero por la cardinalidad de las preocupaciones que deben ser de una cantidad no numerable de dimensiones. Así que los reales parecen

$$\bigoplus_{i\in I} \mathbb{Q}$$ Donde $I$ tiene la misma cardinalidad de los reales (no estoy del todo seguro, pero creo que aquí es donde podemos empezar a usar el axioma de elección). Por lo que es bastante razonable que cortar de una sola copia de los racionales no cambia el isomorfismo de la clase. Exhibiendo una explícita isomorfismo es difícil, ya que sería necesario dar una base para los reales como un espacio vectorial sobre los racionales, que no se puede hacer de forma constructiva.

Answer 2

Deje $V_1, V_2$ dos $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales que tienen dimensión$\mathcal{c}$$\mathbb{Q}$. A continuación, $V_1\cong V_2$ por la elección de un conjunto explícito de la base de elementos para los espacios vectoriales. En este caso,$V_1=\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, e $V_2=\mathbb{Q}\oplus \mathbb{R/Q}$. Del mismo modo se construye $V_3=V_1\oplus V_2\cong V_2\cong V_1$, etc.

Tratemos de ser explícito. Si usted sabe cómo construir un bijective mapa $$ \mathbb{R}\cup \{i\}\leftrightarrow \mathbb{R} $$ a continuación, puedes construir el isomorfismo entre el$V_1$$V_2$. Si usted no puede hacer eso, anual puede intentar construir un bijective mapa $$ \mathbb{N}\cup \{i\}\leftrightarrow \mathbb{N} $$en primer lugar, a continuación, dejar otros elementos a un lado.

Esto también demostraron que son isomorfos como abelian grupos, porque como el otro post citado punto, todos son divisibles torision libre de abelian grupos. Por lo que son isomorfos si son isomorfos como $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales.