Mostrar que $d/dx (a^x) = a^x\ln a$.

Question

Mostrar que $$ \frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a. $$

¿Cómo puedo hacer una prueba de ello. Me parece que no puede conseguir que funcione de todos modos lo intento.

Sé que $$ \frac{d}{dx} e^x = e^x. $$ ¿Que me pueden ayudar aquí?

Answer 1

Sugerencia: $a^x=e^{\ln a^x}=e^{x\ln a}$.

Answer 2

Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser dado por $f(x)=a^x$ y considerar la $\ln$ función. Podemos tomar la composición de modo que tenemos:

$$(\ln\circ f)(x)=\ln (a^x)=x\ln a$$

Ahora, si tomamos la derivada, en el lado izquierdo utilizamos la regla de la cadena y en el lado derecho podemos diferenciar como de costumbre, así que tenemos:

$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln a$$

Ahora la solución para $f'(x)$ da $f'(x) = f(x) \ln a$, de modo que $f'(x) = a^x \ln a$. Esta útil técnica puede ser utilizada para tomar derivados de otras funciones: componemos la función original con la inversa y luego se diferencian en ambos lados y el uso de la misma idea que hemos utilizado aquí, esta técnica se puede simplificar muchas de derivados y ahorrar un montón de tiempo en algunas situaciones.

Answer 3

Sugerencia: Escriba $y = a^x$ o, equivalentemente, $\ln y = x \ln a$ y el uso implícito de la diferenciación.

Answer 4

el último plazo , puede ser explicado por la regla de L'Hospital, sólo tomando los límites del numerador y el denominador de una de cada vez.

Answer 5

$ \frac{d}{dx} a^x=$

$=d/dx$ $e^{ln\ (a^x)}=$

$=d/dx \ e^{x\ln(a)}$ tal y como lo dijo.

Ahora es el momento para la regla de la cadena.

$f(x)=e^x$

$g(x)=x*ln(a)$

$a^x= f(g(x))$

último comentario antes de que me de problemas

$a=e^{ln(a)}$

ahora vamos a hacerlo

$d/dx\ e^{x\ ln(a)}=$

$=e^{x*ln(a)}\ d/dx\ (x\ ln(a))=$ (por la regla de la cadena)

$=e^{x\ ln(a)} * ln(a)$

y esa es la solución. Esperar no es correcto --> debemos hacer algo de álgebra!

Mostrar a ti mismo para que

$e^{x*ln(a)}=( e^{ln(a)} )^x$ , pero como hemos dicho que $a = e^{ln(a)}$ $( e^{ln(a)} )^x$ es igual a $a^x$ y, por supuesto, $e^{x*ln(a)}$ es igual a^x

Con lo que acabamos de decir se puede ver que $e^{x * ln(a)}\ ln(a)$ es igual a $a^x\ ln(a)$ o

$$d/dx a^x = a^x\ ln(a)$$