Acabar con las moscas con un martillo

Question

Pide un reciente intercambio con Gerry Myerson, me preguntaba si alguien tiene un ejemplo favorito de una forma relativamente sencilla problema con algo elemental (aunque tal vez complicado) respuesta para la que no hay otra respuesta que se basa en un elegante uso de un potente resultado que casi ciertamente, más allá del fondo de la poser de la pregunta.

Answer 1

Si $2^{1/n}$ fueron racional $/b$, con $n>2$, entonces $a^n=b^n+b^n$, lo que estaría en contradicción con la prueba de Wiles Fermats Teorema.

Answer 2

OK, aquí está la prueba de que $49 < 50$.

Hay un punto en el primer cuadrante donde el círculo $x^2+y^2=1$ cruza la línea de $x=y$, y la línea tangente a la circunferencia en ese punto tiene pendiente $-1$ y $x$intercepto $\sqrt{2}$. Cada línea con la misma pendiente y un poco menor que $x$intercepto cruza el círculo dos veces, y aquellos con una mayor intercepción no se cruzan el círculo.

Ahora supongamos que usamos $7/5$ como una aproximación a $\sqrt{2}$, y dibujar la línea con pendiente $-1$ y que $$x-intercepto. Pero hete aquí que pasa por los puntos $(4/5,3/5)$ y $(3/5,4/5)$, que están en el círculo. Así que es una secante línea, no una línea tangente. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $$ \frac75<\sqrt{2}. $$ Por lo tanto $$ 49 = 7^2 < 5^2\cdot2=50. $$

Answer 3

El semestre pasado nuestro grad Análisis de clase II demostró la Desigualdad Isoperimétrico utilizando el análisis de Fourier.