Interpretación física de la generación de función para las funciones de Bessel.

Question

Es bien sabido que la generación de función para la función de Bessel es $$f(z) = \exp \left (\frac12 \left (z - \frac1z \right ) w \right ).$$

Por lo tanto, tenemos $$f(z) = \sum_{\nu = -\infty}^{\infty} J_\nu(w) z^\nu.$$

Bien excelente! Es muy fácil para aquellos que prestar atención también a los detalles que se derivan de nuestro amigo, la función de Bessel de esto (de la serie e integral de las representaciones).

Ahora mi pregunta en realidad es: ¿Cuál es la (física) la interpretación de esta $f(z)$? Sé que para los polinomios de Hermite, el parecido de la generación de la función es algo que tiene que ver con la caminata aleatoria. Esto hace un montón de sentido gracias a nuestro amigo el de Ornstein-Uhlenbeck operador!

¿Qué está aquí? Me han conspirado $f$ $w = 1$ bajo la imagen de un círculo. Que me da un poco de kickass animación si dejo que el radio de crecer. Pero, ¿qué diablos es?

Las funciones de Bessel están íntimamente conectados a la ecuación de onda, por lo que una interpretación en ese sentido sería agradable.

Answer 1

No estoy seguro de si esto es lo que está después, pero aviso que $$ f(i \mathrm{e}^{i \theta}, r) = \mathrm{e}^{i \cos(\theta) r} = \mathrm{e}^{i z} $$ Es decir, es una onda plana (y resuelve la ecuación de onda), y la expansión de la onda plana en una serie de la función de Bessel es el célebre Jacobi-la Ira de expansión.

Añadido: Usted parece haber conspirado $\Re(f(i \mathrm{e}^{i \theta}, r)) = \cos(r \cos(\theta)$ para diferentes valores de radio de $r$: