¿Qué es? $P$ de que Cara o Cruz tengan una ventaja $\geq 10$ en algún momento del juego de $300$ ¿se voltea?

Question

La pregunta se refiere a $P$ de conseguir una ventaja de al menos $10$ en cualquier punto durante un juego, con una duración de sólo $300$ voltea.

He intentado aplicar la fórmula dada en una respuesta a una pregunta similar aquí

$P(X_n (n+10/2))$

pero eso se traduce en la suma de $300 + 10$ y dividiendo por $2$ que = $155$ .

Siguiendo la respuesta anterior, parece que el $P$ de una pista de $10$ o mayor en algún momento en un $300$ flip Game sería sólo $.155$ ...y eso no encaja con los resultados cuando simplemente utilizo un simulador para muestrear repetidamente partidas de $300$ y cuenta las veces que aparece una pista de al menos 10.

¿Hay algo mal en la forma en que estoy aplicando esta fórmula? o es incorrecta para la pregunta que estoy haciendo?

Answer 1

Con este problema ya es un reto proporcionar una respuesta numérica que pueda utilizarse para comprobar los resultados de los métodos probabilísticos. probabilísticos. De hecho, esto puede hacerse, y mostraré cómo. Supongamos que tenemos $n$ y buscamos contar los resultados en los que una ventaja de al menos menos $q$ se obtuvo en algún momento. La idea es utilizar una cadena de Markov con estados $T$ y $A_p$ donde $-(q-1)\le p\le q-1.$ El estado $A_p$ representa el plomo $p$ con las obvias reglas de transición que esto implica. Por último, $T$ es un estado absorbente en el que la cadena permanece una vez que un plomo de $q$ se ha visto. Resolvemos este sistema de ecuaciones y obtenemos $T.$ Obtenemos para el presente problema que tiene $q=10$

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ T(z) = {\frac {2{z}^{10}}{ \left( 2\,{z}^{10}-25\,{z}^{8} +50\,{z}^{6}-35\,{z}^{4}+10\,{z}^{2}-1 \right) \left( 2\,z-1 \right) }}.}$$

Queda por calcular

$$\frac{[z^{300}] T(z)}{2^{300}}.$$

Extrayendo el coeficiente obtenemos ${ 1.9744763278096917789\times 10^{90}}$

que da la probabilidad de haber visto una pista de al menos diez en algún momento durante $300$ invierte el valor

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ 0.96928888382356097067.}$$

Observe que hemos utilizado el comando de series de Maple para extraer el coeficiente. Esto se puede sustituir si se desea convirtiendo $T(z)$ numéricamente en una descomposición de fracciones parciales y calculando los coeficientes a partir de una serie geométrica (lo he probado).

El código de Maple para esto incluye una rutina de enumeración para comprobar el resultado de la cadena de Markov, es el siguiente. Por supuesto, podemos resolver para $T$ manualmente pero aquí se ha mantenido el formato del sistema de ecuaciones.

X :=
proc(q)
    option remember;
    local sys, pos, sol, eq;

    sys := \[A\[-(q-1)\] = z \* A\[-(q-2)\],
            A\[q-1\] = z \* A\[q-2\]\];

    for pos from -(q-2) to q-2 do
        sys :=
        \[op(sys),
         A\[pos\] + \`if\`(pos=0, -1, 0) =
         z \* A\[pos-1\] + z \* A\[pos+1\]\];
    od;

    sol := solve(sys, \[seq(A\[p\], p=-(q-1)..q-1)\]);

    eq := T = 2\*z\*T +
    z \* subs(op(1, sol), A\[-(q-1)\] + A\[q-1\]);
    solve(eq, T);
end;

Q := (n, q) -> 
coeff(series(X(q), z=0, n+1), z, n);

ENUM :=
proc(n, q)
    option remember;
    local ind, res, lead, d, pos;

    res := 0;
    for ind from 2^n to 2^(n+1)-1 do
        d := convert(ind, base, 2);

        lead := 0;

        for pos to n do
            if d\[pos\] = 1 then
                lead := lead + 1;
            else
                lead := lead - 1;
            fi;

            if lead = q or lead = -q then
                break;
            fi;
        od;

        if pos < n+1 then
            res := res + 1;
        fi;
    od;

    res;
end;

Este método requiere muchos cálculos. Esperamos ver los datos numéricos verificados en un futuro post.

Lo que tenemos aquí está estrechamente relacionado con el DFA método .

Existe, entre otras, esta entrada en la OEIS, OEIS A216212 .