¿Qué significa la última parte de la demostración de este teorema?

Question

Estoy tratando de entender la última parte de la prueba de este teorema pero estoy realmente confundido en cuanto a lo que el autor ha hecho. Tengo un examen en un par de días y no me gusta memorizar cosas sin entenderlas, pero me he perdido entre los significados de $y_m, y_{1,m}, y_{2,m}, \beta^{(m)}_{1}$ y $\beta^{(m)}_{2}$ .

Gracias.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Este es sin duda un truco útil para entender.

Comenzamos observando la secuencia $(\beta_1^{(m)})_{m \in \Bbb N}$ . Tiene una subsecuencia convergente, $(\beta_1^{k_m})_{m \in \Bbb N}$ . Etiquetaremos esta secuencia de forma equivalente como $(\beta_1^{k_{1,m}})_{m \in \Bbb N}$ pero más adelante se hablará de ello. Podemos definir una subsecuencia correspondiente $(y_{1,m})_{m \in \Bbb N}$ por $$ y_{1,m} = \beta_1^{(k_{1,m})}x_1 + \beta_2^{(k_{1,m})}x_2 + \cdots + \beta_n^{(k_{1,m})}x_n $$ A partir de ahí, miramos la secuencia $(\beta^{(k_{1,m})}_2)_{m \in \Bbb N}$ (que no necesariamente converge). Podemos seleccionar una subsecuencia (¡de esta subsecuencia!) que converja. Es decir, miramos $(\beta^{(k_{2,m})}_2)_{m \in \Bbb N}$ que satisface $\lim_{m \to \infty} \beta^{(k_{2,m})}_2 \to \beta_2$ . Obsérvese que como hemos tomado una subsiguiente también tenemos $\beta^{(k_{2,m})}_1 \to \beta_1$ . La subsecuencia correspondiente de $y_n$ es $$ y_{2,m} = \beta_1^{(k_{2,m})}x_1 + \beta_2^{(k_{2,m})}x_2 + \cdots + \beta_n^{(k_{2,m})}x_n $$ el proceso continúa hasta llegar a $y_{n,m}$ para la que converge cada secuencia de coeficientes.

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Nota: Si tenemos el teorema de Heine-Borel, entonces podemos llegar a la subsecuencia convergente $(y_{n,m})_{m \in \Bbb N}$ en un solo paso. De hecho, este truco es la forma en que se demostraría Heine-Borel utilizando Bolzano-Weierstrass.

Answer 2

El primer punto es que si $(b_i^{(m)})_{m\in \mathbb N}$ es una secuencia acotada para cada $i=1,...,n$ entonces hay un incremento estricto de $f:\mathbb N\to \mathbb N$ tal que $(b_i^{(f(m))})_m$ converge a un límite $b_i$ para cada $i=1,...,n.$ ...(En el lema, cada $|b_i^{(m)}|\leq 1.$ )

El segundo punto es que, en el lema, no todos los $b1,...,b_n$ puede ser $0$ porque $\sum_{i=1}^n|b_i|=\lim_{m\to \infty}\sum_{i=1}^n|b_i^{(f(m))}|=\lim_{m\to \infty} 1=1.$

El tercer punto es que $y_{f(m)}=\sum_{i=1}^nb_i^{(f(m))}x_i$ converge a $y=\sum_{i=1}^nb_ix_i$ como $m\to \infty$ porque $$ \|y_{f(m)}-y\|\leq \sum_{i=1}^n|b_i^{(f(m))}-b_i|\cdot \|x_i\|$$ y cada $b_i^{(f(m)}\to b_i$ como $m\to \infty.$

La última cuestión es que el tercer punto implica $\|y\|=\lim_{m\to \infty}\|y_{f(m)}\|=0,$ así que $0=y=\sum_{i=1}^nb_ix_i,$ con $b_1,...,b_n$ no todos $0$ (segundo punto), contradiciendo la independencia lineal de $x_1,...,x_n.$

NOTAS. (1). El primer punto es una herramienta general útil. (2). El hecho de que, en un espacio normado, $\lim_{n\to \infty}\|v_n-v\|=0$ implica $\lim_{n\to \infty}\|v_n\|=\|v\|,$ aunque es fácil de probar, es un buen ahorro de tiempo.

Dos consecuencias de este lema son: (i). Un subespacio vectorial finito de un espacio lineal normado es cerrado. (ii). Dos normas cualesquiera sobre $\mathbb R^n$ (o en $\mathbb C^n$ ), para un número finito de $n$ , que hacen $\mathbb R^n$ (o $\mathbb C^n$ ) un espacio lineal normado, generará la misma topología y, respecto a las métricas definidas por las normas, las métricas de las normas son uniformemente equivalentes.

Answer 3

Otra manera de ver esto: La función $$ F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=\|\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n\| $$ es una forma conjunta función continua de los escalares $\alpha_j$. El subconjunto $\mathscr{C}$ definido por $$ |\alpha_1|+|\alpha_2|+\cdots+|\alpha_n|=1 $$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{C}^n$ (o $\mathbb{R}^n$ si se trabaja a través de los reales.) Y $F$ nunca $0$ en este conjunto. Por lo tanto, $F$ alcanza un valor mínimo en $\mathscr{C}$ que es distinto de cero. Deje $c$ ser que el mínimo valor que no sea cero. Entonces, para cualquier $\alpha_j$ que $|\alpha_1|+\cdots+|\alpha_n| > 0$, $$ F(\frac{\alpha_1}{|\alpha_1|+\cdots+|\alpha_n|},\cdots,\frac{\alpha_n}{|\alpha_1|+\cdots+|\alpha_n|}) \ge c > 0\\ \implica F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \ge c(|\alpha_1|+\cdots+|\alpha_n|), $$ lo que demuestra la desigualdad.