Una sencilla prueba por inducción $P(n) = \frac{6^{2n} - 3^n}{11} \in \mathbb{N}$

Question

Verificar por inducción que $P(n) = \frac{6^{2n} - 3^n}{11} \in \mathbb{N} \quad \forall n \ge 1 \in \mathbb{N}$

Base: $P(1) \Rightarrow \frac{33}{11} \in \mathbb{N}$ .

Inducción: si la afirmación es válida para algún $n$ $\Rightarrow$ se mantiene para $n+1$

Agradecería alguna pequeña pista porque estoy atascado en $P(n+1) = \frac{6^{2(n+1)} - 3^{n+1}}{11}$

Answer 1

En realidad no se necesita la inducción, o simplemente utilizar alguna producción simple, ya que $$6^{2n}-3^n=3^n(12^n-1)$$

Answer 2

Tenemos $P(n)=\frac{6^{2n}-3^n}{11} \in \mathbb{N}$ .

Ha demostrado que el caso base es cierto.

Ahora, supongamos que es cierto para $n=k$ .

$$6^{2k}-3^k=11p \tag{1}$$

Dónde $p \in \mathbb{N}$ .

Verdadero para $n=k+1$ .

$6^{2(k+1)}-3^{k+1}=6^{2k+2}-3^{k+1}=36 \cdot 6^{2k}-3 \cdot 3^k \tag{2}$

Ahora, aquí viene el truco.

Podemos sustituir de $6^{2k}$ de la ecuación $(1)$ en la ecuación $(2)$ .

$$36 \cdot (11p+3^k)-3 \cdot 3^k=11\cdot 36p+36\cdot 3^k-3 \cdot 3^k=11 \cdot 36p-33 \cdot 3^k \tag{3}$$

Desde $11\cdot 36p$ es obviamente divisible por $11$ y $33 \cdot 3^k$ se puede dividir por $11$ para dar $3 \cdot 3^k$ la totalidad de la ecuación $(3)$ es divisible por $11$ .

Por lo tanto, hemos terminado.

Answer 3

Porque $\displaystyle \frac{6^{2n}-3^n}{11}$ es un número natural, podemos escribir para algunos $k \in \mathbb N, 6^{2n} =3^n +11k $ . Entonces nuestra prueba se convierte en $$\frac {6^{2n+2}-3^{n+1}}{11} = \frac {36 (3^n +11k )-3 (3^{n})}{11} =\frac {33 (3^n) +11 (36k)}{11} \in \mathbb N $$ Y así se completa la prueba. Espero que sea de ayuda.

Answer 4

Así que la declaración $P(n)$ también podría formularse que $11$ divide $6^{2n} -3^n$ . Así que $P(n+1)$ consideraría \begin {align} 6^{2(n+1)} - 3^{n+1} & = \\ 6^{2n} \times 36 - 3 \times 3^n & = \\ 3(12 \times 6^{2n} - 3^n )&= \\ 3(11 \times 6^{2n} + 6^{2n} - 3^{n}) & = \ldots \end {align} ¿Puedes usar $P(n)$ con el fin de demostrar $P(n+1)$ ?

Answer 5

HINT

Desde $$x^{n+1}-y^{n+1}=(x^n+y^n)(x-y)+xy(x^{n-1}+y^{n-1})$$

Tenemos

$$6^{2n+2}-3^{n+1}=(6^{2n}+3^{n})(6^2-3)+108 (6^{2n-2}+3^{n-1})$$

Utilizamos la inducción: Si $n-1$ es cierto, $n+1$ es cierto.