¿Por qué son los números irracionales un problema tan grande?

Question

¿Por qué es tan importante que algunos números son irracionales? Esto significa que no puede ser representado como un entero las fracciones. Fresco. Pero casi todos los números de satisfacer esa propiedad. Entonces, ¿por qué, por ejemplo, en $\pi$'s página de la wikipedia, ya en la tercera línea nos dice que $\pi$ es irracional?

Incluso si él no me había dicho nada de eso, yo he asumido él de todos modos. Es como si la wikipedia había una página en una cierta raza de perro y me dijo "¿y saben qué, esta raza tiene una cola!".

Answer 1

Incluso si él no me había dicho nada de eso, yo he asumido él de todos modos.

De verdad? Podría también suponer que $ A=\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} $ es irracional? ¿Y qué acerca de $$ B=\frac{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}}{\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\right)^2} \ \ ? $$ $$ C=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \ \ ?$$ $$ D=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \ \ ?$$ $$ E=\frac{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}}{\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\right)^2} \ \ ? $$ $$ F= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \ \ ? $$ El hecho es que la matemática está llena de resultados de la forma "un determinado número definido de alguna manera especial es racional" - por ejemplo, el número de $B$ definido anteriormente, es igual a $2/5$, e $F$ es igual a 1. Generalmente no nos describir los resultados en esos términos, sin embargo, los llamamos "fórmulas" o "identidades" y escribir de una manera que no enfatice la racionalidad, por ejemplo, como $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $$ (una manera diferente de estado el teorema de "$A$ es racional y es igual a $1/6$"). Así que si usted asume que cualquier número con una complicada definición que encontramos es irracional sólo porque en un sentido estadístico casi todos los números reales son irracionales, sin duda sería equivocado un montón de tiempo. Y otras veces tendrás suerte y hacerlo bien, y sin embargo otras veces (como con el número de $E$ definido anteriormente) será un problema abierto si está bien o mal.

Para resumir, es un gran problema si un número importante como $\pi$ es racional o no, porque la racionalidad/irracionalidad es a la vez uno de los atributos más importantes que los números reales poseen, y un atributo que es sorprendentemente realista, tanto a adivinar y a probar. La razón por la que creo que es tan obvio que $\pi$ es irracional tiene más que ver con el condicionamiento psicológico que con evidencia matemática: es sólo que si $\pi$ fueron racional, a continuación, la manera de escribir como cociente de números enteros, sería uno de los más famosos hechos en las matemáticas, que todos aprendieran en la escuela primaria, y así por el hecho de que usted nunca aprendió una representación de $\pi$ en la escuela primaria o escuchado acerca de ella en cualquier lugar, es fácil adivinar que $\pi$ no puede de hecho ser representado de tal manera.

Answer 2

Es un gran problema históricamente. Cuando la matemática de los números fue desarrollado, era natural para comenzar con números enteros y el progreso de los racionales. Racionales son tan útiles que se convirtió en el final de lo que fue pensado, y, finalmente, era como una religión: Cada número es racional.

Así que cuando la primera cantidad se descubrió que era exigido por la geometría Euclidiana, trabajando con solo número entero de longitudes para empezar, sin embargo, podría no ser un número racional, los matemáticos se sometieron a un poco de una crisis existencial.

Otro de los puntos más relevantes a la página de la wiki, es que no es siempre fácil saber que un definidos y concretos número es irracional. Como un ejemplo, considere la posibilidad de $$\zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3}$$

Aunque nadie espera que este a su vez a ser racional, o incluso algebraicas, hasta 1977, nadie ha demostrado que es irracional. En 1978, Apéry ha demostrado que es irracional y esta es una información importante (aún no sabemos si es trascendental). Así que el hecho de que $\pi$ ha sido demostrado ser irracional y, de hecho, ha sido demostrado ser trascendental es, de hecho, un hecho importante acerca de la $\pi$.

Answer 3

"Puede ser de ningún uso práctico para saber que $\pi$ es irracional, pero si nos podemos conocer, seguramente sería intolerable no saber".

— E. C. Titchmarsh

Answer 4

Pero casi todos los números de satisfacer esa propiedad.

Esta es la clave de la subestimación. Hay un montón de números irracionales. Para tener una idea de cuántos son, considere la tarea de escribir todos los números reales entre 0 y 1. Hay un montón de la derecha? Infinitamente muchos. Hay manera de que usted podría escribir todos ellos. Cómo acerca de todos los números racionales entre 0 y 1. La escritura de los números en un número finito de la tasa, se necesitaría una cantidad infinita de paso para escribir todos los números racionales.

Pero se nota la diferencia en el fraseo. Para los números racionales, se necesitaría un número infinito de pasos para escribir todos los números. Para los números reales, me dijo que era imposible. Elegí una diferente fraseo, y por una buena razón.

Tenemos este concepto de la cuenta. Va 0, 1, 2, 3, 4... y sigue adelante. Estos son llamados los números naturales. El conjunto de los números naturales es "countably infinito." Si usted mantiene la adición de 1 sobre y a través de, usted podría, eventualmente, construir cada número natural. (esta es básicamente la definición de un "countably infinito" set)

Si nos fijamos en los números reales, y un montón de $\pi$ $\sqrt 2$ y todos los de su irracional amigos, tenemos más números de los que teníamos números naturales. El conjunto de todos los números reales es "uncountably infinito." Hay más números reales que no son números naturales.

Gran cosa a la derecha? Hay más números racionales de números naturales, ¿no? Bueno... no exactamente.

De hecho, resulta que el conjunto de los números racionales es countably infinito. Hay una manera formal para mapa de todos los números racionales a los números naturales. Se hace normalmente en un diagonalizing enfoque:

Así, tan extraño como puede parecer hay exactamente el mismo número de números naturales como los números racionales, pero hay más números reales que eso. Esto tiene muchos efectos interesantes más en las matemáticas, porque podemos utilizar la inducción matemática para demostrar cosas tan largo como el conjunto de valores que estamos demostrando que encima no es más grande que el de los números naturales. Una vez que nos movemos en grandes conjuntos, como el conjunto de los números irracionales, la inducción matemática ya no es una herramienta válida en la prueba.

Y sí, la capacidad de utilizar la inducción matemática es un gran problema =)

Answer 5

¿Por qué es tan importante que algunos números son irracionales?

No lo es, siempre.

Es, a veces, debido a que la clasificación de las cosas es lo que hacen los matemáticos.

Dividir los grupos de cosas en subgrupos de cosas, y hablar de cómo los distintos cambios en las reglas de alterar los grupos de alrededor. Nos encanta la clasificación.

Entonces, ¿por qué, por ejemplo, en π la página de la wikipedia, ya en la tercera línea nos dice que π es irracional?

Si nos fijamos en cualquier bien surtido de artículos de Wikipedia, habrá un montón de información que uno puede encontrar irrelevante para su tarea dada. Por ejemplo, "necesito ejemplos de código, no la historia de la MVC." O, "yo quiero que Will Smith's de altura, no de su valor neto."

"π es irracional" es sólo un hecho acerca de π, y los "hechos sobre los sujetos" es exactamente lo que las páginas de Wikipedia.

Incluso si él no me había dicho nada de eso, yo he asumido él de todos modos. Es como si la wikipedia había una página en una cierta raza de perro y me dijo "¿y saben qué, esta raza tiene una cola!".

Pero yo apostaría que no sabía que Will Smith valor neto fue de 250 millones sin ser dicho. O que la patente de la desmotadora de algodón fue concedida el 14 de Marzo de 1794.

Sin embargo, otras personas pueden haber sabido que las cosas en la parte superior de sus cabezas. Así que ¿por qué fue incluido en la página?

Wikipedia no alterar el contenido de sus páginas basadas en la presunción de conocimiento de sus visitantes. Sólo se aloja un sitio web lleno de "hechos acerca de las cosas", y los editores han discusiones acerca de cada página y qué tipo de contenido a incluir.

Si usted es realmente un apasionado de qué tipo de contenido debe estar incluida en las páginas de Wikipedia, que debe unirse a la del editor de la comunidad. Usted puede comenzar con π.