Modelos de la Teoría de Conjuntos ZFC - Introducción

Question

Para cualquier teoría de primer orden: ¿Cuáles son los conjuntos en los que se supone/se permite pensar cuando se piensa en modelos como conjuntos (de algo + estructura adicional)?

Se lo han proporcionado:

1. Puedo pensar en modelos de cualquier teoría (que no sea la teoría de conjuntos) como de conjuntos de el (basado en ZFC) universo von Neumann .

2. Puedo pensar en los modelos de cualquier teoría como en conjuntos de términos y fórmulas.

Pero, ¿cuáles son los conjuntos en los que debo pensar cuando pienso en modelos de teoría de conjuntos (ZFC)? sí mismo ?

Answer 1

Según el teorema de incompletitud de Godel, ZFC no puede demostrar su propia consistencia. Por lo tanto, es relativamente consistente con ZFC que no existan modelos de conjuntos de ZFC. En este caso, sigue existiendo un modelo de clase propio de ZFC, a saber, el propio universo de von Neumann, V, entre otros (es decir, L, forzando extensiones de V). Sin embargo, el hecho de que V sea un modelo de ZFC no puede demostrarse formalmente dentro de ZFC. En efecto, la verdad en V no puede definirse en V debido a un resultado de Tarski.

Si permitimos algunos axiomas más fuertes, entonces podemos obtener modelos de conjuntos de ZFC. Por ejemplo, si existe un cardinal inaccesible, $\kappa$ entonces $V_\kappa$ es un modelo de conjunto de ZFC.

Answer 2

Se supone que debes pensar en conjuntos. Definitivamente.

He aquí una analogía que puede resultarle útil: utilicemos el nombre "ZFC-" para los axiomas de ZFC pero sin el axioma del infinito. Ahora, si de repente decretara que todo lo que no es miembro de $V_\omega$ ya no es un conjunto, ZFC- seguiría satisfaciéndose. Es decir, los miembros de $V_\omega$ , tomados como un conjunto, son un modelo de ZFC-.

Si envolvemos esos miembros en un conjunto (que resulta ser $V_\omega$ mismo), ese conjunto se considera un modelo de ZFC-. Técnicamente también tenemos que proporcionar una relación (conjunto de pares ordenados) que nos diga qué $\epsilon$ significa, pero si $\epsilon$ en el modelo significa lo mismo que $\epsilon$ en la teoría de conjuntos "externa" podemos simplemente mencionar ese hecho y continuar.

Así que, ahora que sabes que $V_\omega$ es un modelo de ZFC-, quizás puedas imaginar cómo sería un modelo de ZFC. Es un conjunto muy, muy, muy grande -llamémoslo "M"- tal que todos los conjuntos dentro de él, tomados juntos, son suficientes para satisfacer los axiomas de ZFC. Pero no es necesario que "M" en sí mismo satisfaga ZFC.

Así es un modelo de ZFC.

Answer 3

Esta respuesta va a ser un poco informal, pero espero que ayude.

Imaginemos que tenemos la colección de todos los conjuntos. Llamémoslos los conjuntos reales y su relación de pertenencia la pertenencia al conjunto real . El conjunto vacío es "realmente" vacío, y la clase de todos los ordinales es "realmente" una clase propia.

Ahora que tenemos los conjuntos reales podemos utilizarlos como el " sustrato ontológico " sobre el que se construirá todo lo demás. Y esto, por supuesto, incluye las teorías formales y sus modelos.

Un modelo de cualquier teoría de primer orden es entonces sólo un conjunto real. Esto se aplica también a tu teoría de conjuntos favorita. Así que los modelos de su teoría de conjuntos son sólo conjuntos reales (pero los modelos no lo saben, al igual que no saben si sus conjuntos vacíos son realmente vacíos o si su pertenencia al conjunto es la real).

Este punto de vista encaja bien, por ejemplo, con la idea de pasar de un modelo transitivo a una extensión genérica del mismo o a uno con un universo construible: simplemente estamos pasando de una clase de modelos a otra, cada una de ellas formada por conjuntos reales.

Pero este punto de vista también nos deja con demasiadas entidades, y tal vez aquí tenemos la oportunidad de aplicar la navaja de Occam. Parece que tenemos dos tipos de teorías: una para los conjuntos reales, que está hecha de cosas que no son conjuntos (podemos formalizar nuestra charla informal sobre ellos, pero eso no hace esencialmente ninguna diferencia), otra para los modelos de la teoría de conjuntos, que está hecha de conjuntos.

Los conjuntos reales y la teoría de los conjuntos reales pertenecen a un mundo donde hay conjuntos reales, pero también hay cerdos y vacas, y lenguas humanas y muchas otras cosas. No necesitamos todo eso para hacer matemáticas, ¿verdad? Entonces, ¿por qué no sumergirse en el mundo de los conjuntos reales e ignorar todo lo demás?

Si esta historia suena demasiado platonista, estoy seguro de que debe tener una contrapartida formalista.

Con mi pregunta:

Cómo pensar como un teórico de conjuntos (o de modelos).

Esperaba obtener una opinión oficial sobre todo esto. De alguna manera lo conseguí, pero como puedes ver, todavía estoy trabajando en ello.

Aquí hay una respuesta a una pregunta relacionada que también me parece útil:

¿Es necesario que el modelo de la teoría sea un conjunto?

Answer 4

Del comentario: ¿cómo pasamos de "lo abstracto" a "lo concreto"?

En mi opinión parcialmente informada, ¡no por la teoría del modelo formal! La capacidad de la teoría de conjuntos para describir sus propios modelos es uno de los pilares de su éxito en los fundamentos de las matemáticas, pero aunque su teoría de modelos nos ayuda a entender la estructura de la teoría de conjuntos, no nos ayuda en su mayoría a entender a qué nos compromete creer en los axiomas de la teoría de conjuntos.

Creo que el universo construible de Goedel nos ayuda a hacerlo, sobre todo porque nos ayuda a entender la jerarquía acumulativa. Los modelos de Fränkel-Mostowski también lo hacen: la permutabilidad de los ureles arroja una luz útil sobre lo que está en juego con el axioma de elección. Pero si bien estos dos resultados son teóricos de modelos, no tienen mucho que ver con la dirección actual de la teoría de conjuntos de modelización en sí misma.

Obtenemos más información al observar la teoría de conjuntos desde abajo: ¿qué se pierde con las teorías de conjuntos más débiles como KP, IZF y CZF? Esto me da más la sensación de llegar a los compromisos concretos de la teoría de conjuntos.

Answer 5

Supongamos que empiezas con algo más fácil. Empecemos con la Aritmética de Peano. Está definida por un cierto conjunto de axiomas, y definitivamente no dice nada sobre los números, al menos desde el punto de vista formal. Sólo dice sobre algunos "objetos hipotéticos" para los que se definen varias operaciones, por ejemplo el sucesor de un objeto existente. De hecho, los objetos que obedecen a los axiomas de PA pueden no ser números en absoluto (números como los que usamos, por supuesto) y es una cuestión de gusto, desde ese punto de vista, si decimos: si alguna estructura obedece a los axiomas de PA deberíamos llamarla números naturales.

Este es el asunto de la teoría de modelos: toda estructura en la que se satisfacen los axiomas de la PA se llama modelo de la Aritmética de Peano, y entre ellos, los números naturales son una especie de modelo natural e intuitivo para los axiomas de la PA.

Empecemos por el ZFC. ZFC tiene su propio conjunto de axiomas llamado Axiomas de Zermelo-Frankel . De hecho desde el punto de vista conservador y educativo todo está bien, relación $x \in y$ tiene el significado de "x es un elemento de y" pero cuando se quiere decir algo sobre modelos de ZFC Definitivamente, deberías dejar esa forma de describir. La forma más adecuada sería utilizar algún símbolo abstracto para esta relación, por ejemplo $xRy$ En lugar de eso, perdona el significado de "x es un elemento de y", pero utiliza "x está en relación con y". Así que $R$ es una relación binaria abstracta utilizada en el conjunto de axiomas ZFC.

Entonces puede buscar estructuras que satisfagan los axiomas de ZFC, en sentido puramente formal . Y por supuesto, el universo normal de conjuntos lo satisface, por lo que es candidato a modelo de la teoría ZFC, además de que hay problema con Paradoja de Cantor que destruye dicha estructura ("class od sets") de ser el modelo propio de ZFC....

¡Qué suerte! Si la teoría de conjuntos pudiera ser el modelo adecuado de ZFC, entonces sería inconsistente, ya que para la teoría de conjuntos( basado en el artículo de Tim Chow "Guía para principiantes sobre el forzamiento" )

"por un resultado conocido como el teorema de completitud, la afirmación de que ZFC tiene algún modelo en absoluto es equivalente a la afirmación de que ZFC es consistente "

Por lo tanto, si hubiera sucedido, podríamos probar los complementos de ZFC dentro de ZFC, lo que naturalmente nos lleva a la inconsistencia...

Así que los objetos a los que te refieres como "conjuntos" en tu pregunta son un "modelo cercano" de la teoría ZFC que establece sobre los objetos que obedecen a los axiomas ZFC en términos de relación binaria $R$ . Si encuentras otros "universos" que satisfagan los axiomas de ZFC, puedes llamarlos "conjuntos". Pero, de hecho, su relación con ZFC es exactamente la misma que existe entre los objetos de los modelos no estándar de la Aritmética de Peano y los números naturales, o entre los objetos no isomórficos que satisfacen los axiomas de la teoría de grupos (modelos de los axiomas de la teoría de grupos), es decir, los grupos no isomórficos, etc.