Los puntos de una variedad definida por Galois descenso

Question

Sea k un campo perfecto. Por una k-variedad, voy a decir una geométricamente reducido separados esquema finito de tipo k. Creo que es suficiente condiciones que los siguientes datos para determinar un afín k-variedad:

1. Un subconjunto $X(\bar{k})$$\bar{k}^n$, el cual es definido por polinomios
2. Una acción continua de $\mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/k)$$X(\bar{k})$, de tal manera que cada una de las $\sigma \in \mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/k)$ actúa como $\sigma \circ f$ donde f es una $\bar{k}$-regular mapa

Cuando digo que estos datos determinar un afín k-variedad, me refiero a que no hay un único afín k-variedad X cuyas $\bar{k}$-puntos de $X(\bar{k})$ con la correcta Galois de acción.

Teniendo en cuenta estos datos, quiero trabajar el functor de puntos de X (que creo que ha de dominio de la categoría de k-álgebras). Usted puede hacerlo mediante el siguiente a través de la prueba de que estos datos determinar una k-variedad: en primer lugar, construir el anillo de coordenadas de X, como el Galois-puntos fijos de el anillo de funciones regulares $X(\bar{k}) \to \bar{k}$; a continuación, $X(R) = \mathop{\mathrm{Hom}}(A, R)$ para cualquier k-álgebra R.

Pero si L es una extensión algebraica de k, entonces hay una manera mucho más sencilla de trabajar fuera de la L-puntos de X: tomar sólo el subconjunto de $X(\bar{k})$ fijado por $\mathop{\mathrm{Gal}}(\bar{k}/L)$.

Si L es un trascendental extensión de k (o incluso una k-álgebra que no es un campo), hay una forma directa de escribir la L-puntos de X que no requiere pasar por el anillo de coordenadas (o, esencialmente, lo que es equivalente, pasando por la definición de las ecuaciones para X)?

Answer 1

El siguiente parece dar una razonable respuesta afirmativa que se evita la computación en la coordenada anillo directamente, y sustituye a la condición (2) con la condición más natural que el subconjunto $\Sigma := X(\overline{k})$ en (1) es estable bajo la acción del grupo de Galois en $\overline{k}^n$.

Vamos a ser un limpiador de trabajo más general, más de un arbitrario (no necesariamente perfecto) campo de $k$ y con geométricamente reducción cerrada subschemes $X$ fija separada $k$- $Y$ localmente finitos tipo. (Nota: ahora afín esquemas se han ido; puede tomar $Y$ ser afín espacio, pero esto es irrelevante.) El ${\rm{Gal}}(k_s/k)$-conjunto estable $\Sigma = X(k_s)$ $Y(k_s)$ recupera $X$ como sigue. Para un $k$-álgebra $A$, $X(A)$ es el ${\rm{Gal}}(k_s/k)$-invariantes en $X(A_{k_s})$, tan sólo tenemos que describen $X(A_{k_s})$ ${\rm{Gal}}(k_s/k)$- estable subconjunto de $Y(A_{k_s})$. La descripción en este último caso será en términos de $\Sigma$, y el ${\rm{Gal}}(k_s/k)$-estabilidad de $\Sigma$ dentro de $Y(k_s)$ se asegurará de que la descripción que nos dan para $X(A_{k_s})$ ${\rm{Gal}}(k_s/k)$- estable en el interior de $Y(A_{k_s})$. Que se observó, le cambie el nombre de $k_s$$k$, de modo que $k$ es separadamente cerrado y $\Sigma$ es simplemente un conjunto de $k$-puntos racionales de $Y$ (por lo que la notación es ahora ligeramente más limpio).

Primero asuma $A$ es geométricamente reducido en el sentido de que $A_K$ es reducida por cualquier campo de la extensión $K/k$. Desde $X(A)$ es el límite (dentro de$Y(A)$) $X(A_i)$ $A_i$ varía a través de $k$-subalgebras finitos tipo en $A$ (todos los cuales son geométricamente reducido), podemos suponer que $A$ es finitely generado más de $k$. A continuación, el $k$-puntos de Zariski-denso (como $k = k_s$) y por lo tanto la condición en $y \in Y(A)$ que se encuentra en $X(A)$ es que el $y(\xi) \in \Sigma$ todos los $k$puntos $\xi$$A$. Que se describen $X(A)$ para cualquier (posiblemente no finitely generado) $k$-álgebra $A$ que es geométricamente reducido. En general, para comprobar si $y \in Y(A)$ se encuentra en $X(A)$ equivale a lo mismo para cada anillo local de $A$, por lo que podemos suponer $A$ es local. Entonces la condición para $y$ $X(A)$ es exactamente lo que hay es un mapa local de local $k$-álgebras $B \rightarrow A$ $B$ geométricamente reducido de manera que $y$ es en la imagen de $X(B)$ bajo la inducida por el mapa de $Y(B) \rightarrow Y(A)$. Yo no reclamo esta formulación es la mejor manera de pensar acerca de ella, pero que "funciona".

Por supuesto, se puede aplicar este proceso a cualquier ${\rm{Gal}}(k_s/k)$-estable subconjunto $\Sigma$ $Y(k_s)$ siempre que se coloque primero $\Sigma$ con el conjunto de $k_s$-puntos de su Zariski de cierre en $Y_{k_s}$. A continuación, se obtiene sólo el Galois ascendencia $X$ de la Zariski de cierre en la $Y_{k_s}$$\Sigma$. En general $X(k_s)$ puede ser mayor que $\Sigma$, pero, no obstante, $\Sigma$ es Zariski-denso en $X_{k_s}$. Esto es perfectamente interesante en la práctica, independientemente de si o no $\Sigma$ es igual a $X_{k_s}$, ya que es lo que subyace a la construcción de grupos derivados, conmutador subgrupos, las imágenes, las órbitas, y cosas relacionadas en la teoría de la algebraicas lineales grupos de más de un campo general. Por ejemplo, el $k$grupo ${\rm{PGL}}_n$ es su propia derivada de grupo en el sentido algebraico de grupos, pero el colector de un subgrupo de ${\rm{PGL}}_n(k_s)$ es un buen subgrupo siempre $k$ es imperfecto e ${\rm{char}}(k)|n$.

Para dar una ingeniosa aplicación, supongamos que uno comienza con una cerrada arbitraria subscheme $X'$ $Y$ (como $X' = Y$!), luego se forma la ${\rm{Gal}}(k_s/k)$-conjunto estable $X'(k_s)$ (que bien podría estar vacío, o de alguna manera muy pequeño) y, a continuación, se aplica el procedimiento anterior para obtener una geométricamente reducción cerrada subscheme $X$$X'$. ¿Qué es? Es la máxima geométricamente reducción cerrada subscheme de $X'$, y uno puede comprobar que su formación es compatible con los productos (así como extensiones separables $K/k$, tales como terminaciones $k_v/k$ para un campo global $k$). Si $k$ es perfecto, a continuación,$X = X'_{\rm{red}}$, así que esto es más interesante cuando se $k$ es imperfecto. Es especialmente interesante en el caso especial cuando $X'$ está equipada con una estructura de $k$-esquema de grupo. A continuación, $X$ es su máxima liso cerrado $k$-subgrupo, ya que geométricamente reducción de $k$-grupos localmente finito de tipo liso. Entonces, ¿qué? Si uno se enfrenta con la tarea de estudiar el Tate-Shararevich establecido para tal $X'$ (por ejemplo, quizá $X'$ es un desagradable automorphism esquema de algo bueno), a continuación, todo lo que realmente interviene es $X$ desde que captura todos los puntos de local, por lo que para algunos propósitos, podemos sustituir el posiblemente mal $X'$ con el liso $X$. (Este truco se utiliza en la prueba de la finitud, de la Tate-Shafarevich conjuntos arbitrarios afín a los grupos finitos de tipo más global de la función de los campos.) Pero tenga cuidado: si el $k$grupo $X'$ está conectado (y $k$ es imperfecta), a continuación, $X$ puede ser desconectado y tienen mucho menor dimensión; ver Comentario C. 4.2 en el libro "Pseudo-reductora grupos" para un ejemplo.

Answer 2

A pesar de lo que aprenden en las clases de lógica, no de la verdad, a la sabiduría convencional de que no se puede probar un negativo. Es decir, es mucho más difícil explicar por qué algo que necesariamente no puede trabajar de por qué no se puede. (Uno, casi invariablemente, se asienta: "no se puede trabajar bajo las siguientes condiciones explícitas, y posiblemente otros que me han dejado implícito".)

Con esa salvedad, mi preliminar respuesta es no. Los datos de las coordenadas del anillo es de curso equivalente a la del conjunto de los polinomios de $\{P_i\}$ (1). Por lo tanto tu pregunta me suena a preguntar: ¿hay alguna forma de prescindir de la condición (1)? Por supuesto que no: sólo porque el conjunto es de Galois invariante no significa que no tenga ningún tipo de estructura algebraica (por ejemplo, $k = \overline{k}$ y sólo estamos diciendo que no de cualquier subconjunto del espacio afín define una variedad afín).

Por otra parte, no veo ningún acceso directo en torno a la realidad utilizando los datos de (1) y (2) para calcular las coordenadas del anillo. Este es un muy básico Galois descenso argumento que implican Hilbert 90 aplicado al ideal de $\overline{k}[x_1,\ldots,x_n]$ definido a través de (1).