Secuencia espectral contravariante de Grothendieck

Question

Actualmente me estoy confundiendo con los índices de algunas secuencias espectrales. Supongamos que trabajamos en la categoría de módulos para simplificar. Sea $A^\cdot$ sea un complejo (acotado por la derecha) y sea $B^\cdot$ (No creo que tengamos que suponer nada sobre la acotación de $B$ ). Quiero calcular $Ext^n(A^\cdot,B^\cdot)$ que se llama clásicamente hiperextensión (y a veces se denota por $\mathbb{E}xt$ .

Ahora, (quizás asumiendo $B^\cdot$ para estar acotado a la derecha), existe una secuencia espectral

$$E^{p,q}_2 = Ext^p(A^\cdot,H^q(B^\cdot)) \Rightarrow Ext^{p+q}(A^\cdot,B^\cdot).$$

Debería haber un análogo cambiando A y B, pero no estoy seguro de los índices, así que mi pregunta es

es $$ E^{p,q}_2 = Ext^q(A^\cdot,H^{-p}(B^\cdot)) \Rightarrow Ext^{q-p}(A^\cdot,B^\cdot) $$ ¿lo correcto?

Gracias.

Answer 1

Creo que querrás $B^{\bullet}$ para estar acotado por debajo (es decir, por la izquierda), de modo que después de sustituir $A^{\bullet}$ por una resolución proyectiva o $B^{\bullet}$ por una resolución inyectiva, el complejo $Hom(\text{complex},\text{complex})$ que calcula estará acotado por debajo.

En cualquier caso, la secuencia espectral que se busca se produce tomando esta $Hom$ (el que se obtiene después de sustituir $A^{\bullet}$ o $B^{\bullet}$ por una resolución proyectiva o inyectiva), escribiéndolo como el complejo total de un complejo doble, y aplicando la de la máquina. Si haces esto, encontrarás que la segunda secuencia espectral que quieres es

$$E_2^{p,q} = Ext^p(H^{-q}(A^{\bullet}),B^{\bullet}) \Rightarrow Ext^{p+q}(A^{\bullet},B^{\bullet}).$$

(Su primera secuencia espectral viene de sustituir $A^{\bullet}$ por una resolución proyectiva. Esta viene de sustituir $B^{\bullet}$ por una resolución inyectiva).