¿Cómo puedo encontrar una constante para un polinomio de modo que sus raíces son reflexivos en torno a una función lineal?

Question

¿Cómo puedo encontrar todos los números complejos $w$, de modo que las raíces del siguiente polinomio se reflejan en torno a una función lineal $f(x)$ $$p(q) = q^2-4q+w = 0$$

Si quiero encontrar todos los números complejos $w$, por lo que las raíces de los polinomios son un reflejo de todo, decir $f(x) = -x+2$, ¿cómo puedo hacerlo?

Marca mis palabras! El texto a continuación es un poco confuso, mostrando mi trabajo si se ilumina cualquier chispa en la mente de alguien, espero que no! Realmente quiero para resolver este problema, parece como algo que sería muy útil para saber cómo resolver.

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He estado jugando y he notado algunas cosas.

• Si tenemos una función de $g(x)$ que es perpendicular a $f(x)$, entonces todas las raíces de un polinomio debe venir en un par de puntos en $g(x)$ línea O una raíz será sentado en el $f(x)$ línea [doble de la raíz?]; este es el requisito para la condición en el título de esta pregunta

• Esto significa que en mi caso que todas las raíces se hará en la forma de $\alpha=r\cdot e^{i\cdot(\pi/4+k\pi)}+ z$ donde $z$ es el punto en el que $f(x) = g(x)$. Y $r=\sqrt{(\alpha_1-\Re z)^2+(\alpha_1-\Im z)^2}$ donde $\alpha_1$ es una raíz.

  La razón detrás de esto es que la perpendicular de la función $g$ tendría un negado pendiente de$f$, lo que en mi caso tenía la pendiente de $-1\cdot x\implies g(x) = x + m$ donde $m$ iba a ser elegido de acuerdo a una raíz encontrada. Dibujo de esto, uno ve las raíces deben ser encontrados en la $\theta=\pi/4\ or\ -3\pi/4$ con punto medio en $z$, y un radio de $r$.

• También he probado con Vietas fórmulas sin suerte como Vietas fórmulas requiere que todos los coeficientes a ser conocido para una solución completa. (Obviamente)

Edición 1. Yo podría agregar!

Todavía estoy buscando una solución completa para todas las posibles $w$ donde las raíces de $p$ son reflexivos en torno a $f(x) = -x+2$

Answer 1

El uso de la P. F., las raíces de $$p(q) = q^2 + B q + C$$ son $$r_{\pm} = \frac{1}{2}\left(-B \pm \sqrt{B^2 - 4 C}\right)$$ (aquí se $\sqrt{\cdot}$ es cualquier rama).

Si $p$ tiene una doble raíz, que el de arriba muestra que sucede iff $B^2 = 4C$, en cuyo caso el doble de la raíz es al $-\frac{B}{2}$, entonces cualquier reflexión a través de una línea que contenga $2$ mapas de cada raíz a la otra. Así, henceforce supongamos $p$ tiene dos raíces.

Ahora, la reflexión que los intercambios $r_{\pm}$ es exactamente una reflexión a través de la mediatriz del segmento de línea con vértices $r_{\pm}$: Por la construcción de esta línea contiene el punto medio $\frac{1}{2}(r_+ + r_-) = -\frac{B}{2}$, y es ortogonal al vector $\sqrt{B^2 - 4C}$, por lo que la ecuación es $$\sqrt{B^2 - 4C} \cdot \left(z + \frac{B}{2}\right) = 0,$$ donde $\cdot$ denota el producto escalar de a $a \cdot b := \Re(\bar{a} b).$

Por otro lado, podemos escribir la línea de $ax + by = c$ a través de $-\frac{B}{2}$ en forma compleja como $$(a + bi) \cdot \left(z + \frac{B}{2}\right) = 0.$$ So, reflection across this line exchanges the roots of $p$ si $$a + bi = \sqrt{B^2 - 4C},$$ es decir, si $$(a^2 - b^2) + 2abi = B^2 - 4C.$$

En su caso, $B = -4$, e $C = w$, y podemos tomar $a = b = 1$, y la sustitución y la reorganización de da $$w = \frac{1}{4}(16 - 2i) = 4 - \frac{1}{2}i.$$ Of course, we can just ask well take $a = b = \lambda$ for any nonzero (real) $\lambda$, lo que conduce a la solución general $$w = 4 - \frac{1}{2}\lambda^2 i, \qquad \lambda \neq 0,$$ que podemos sugestivamente escribir como $$w = 4 + \mu i, \qquad \mu < 0.$$