¿Qué utilidad tiene la teoría de la foliación de las variedades en la relatividad general?

Question

Estoy interesado en obtener algunas pistas sobre cómo Teoría de las foliaciones de los Múltiples puede utilizarse de forma fructífera en la Relatividad General. Acabo de empezar mi doctorado en Matemáticas este semestre centrándome en el estudio de las foliaciones holomórficas en las variedades proyectivas.

Answer 1

Me explayaré en las cosas mencionadas en los comentarios. Dicho esto, esto se referirá principalmente a foliaciones muy específicas y no mucho a una teoría general.

En primer lugar, dado que las variedades en la RG tienen una componente temporal y otra espacial, siempre vale la pena tenerlas en cuenta. Luego, las foliaciones surgen de forma muy natural al tratar de ver si existe o no una formulación razonable del problema de valor inicial para las ecuaciones de campo de Einstein. Para ver esto, considera que suelen venir en notación de 4 dimensiones $$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu},$$ que puede derivarse de la variación de la correspondiente acción de Einstein-Hilbert con respecto a $g_{\mu\nu}$ $$S= \int_V \mathrm{d}^4x \sqrt{-g} \frac{\kappa}{2} \{ R +\mathcal{L} \} + \int_{\partial V} \text{stuff}, $$ $R$ siendo el escalar de Ricci, $\mathcal{L}$ la densidad lagrangiana de la materia (y la constante cosmológica $\Lambda$ ), $g$ el determinante de la métrica - los términos de frontera a los que he aludido, pero los detalles son un poco confusos, no ayudan mucho, pero sin embargo creo que como matemático te gusta ver que todavía juegan un papel en principio.

El término formulación del valor inicial ya indica el origen de los posibles problemas: "Inicial" alude al tiempo y la versión 4D habitual los mezcla en gran medida. Ahora entra en juego la foliación: Podemos encontrar una formulación de valor inicial (y una formulación de densidad hamiltoniana) siempre que la colectoría resulte ser globalmente hiperbólico . La definición técnica (como se encuentra en Wikipedia en el enlace) se reduce a la capacidad de encontrar, en cierto sentido, que el colector se puede descomponer como $$ \mathbb{R}\times M_3, $$ para algunos tridimensionales $M_3$ y la línea real que da básicamente la dirección del tiempo. Las hojas de la foliación son más o menos y muy aproximadamente hipersuperficies de tiempo igual.

En segundo lugar, también puedes considerar diferentes tipos de foliaciones. Un ejemplo sería separar una determinada noción de tiempo de la parte espacial (digamos, $S_1\times M_3$ ). Las otras partes geométricas determinadas dentro del manificio 3 - como separar la parte esférica simétrica como hojas de dos esferas, dando lugar a la bastante ubicua $\mathrm{d} \Omega$ en los elementos de la línea.

Ojeando los índices de los libros de Choquet-Bruhat , Hawking & Ellis , Beem, Ehrlich & Easley y O'Neill Sin embargo, no pude encontrar indicios de una teoría muy general de esto (la fibra, la hoja, la foliación no están en los índices). Lo mejor que he podido encontrar es un tipo muy específico de foliación que suele aparecer en muchos libros de texto (por ejemplo Gourgoulhon (enlazada la versión en el arxiv)) llamó a la descomposición 3+1 necesaria para las formulaciones de valores iniciales y, por tanto, a la mayor parte del trabajo sobre relatividad numérica. Por supuesto, eso sigue dejando un poco a la elección de cómo hacer esta foliación en particular, pero ya está muy centrado en una determinada aplicación y tal vez no es tan general como podría estar interesado. Aun así, el libro/apuntes de clase de Gourgoulhon tiene mucho que ofrecer desde un punto de vista aplicado.

Este libro de Reinhart ofrece algunas referencias a diferentes aplicaciones en documentos técnicos. Todavía, por lo que he podido ver, foliaciones específicas para ciertas métricas, y mucho a los problemas mencionados.