Encontrar los números racionales $(x,y)$ tal que $ (x^2 + y^2 - 2x)^2 = x^2 + y^2$

Question

El general limaçon tiene un polar ecuación: $r = b + a \cos \theta $ y una ecuación algebraica: $$ (x^2 + y^2 - ax)^2 = b^2 (x^2 + y^2)$$ Podemos encontrar todos los puntos racionales de una curva como esta?

Quiero considerar el caso de $a = 2b$$b = 1$: $$ (x^2 + y^2 - 2x)^2 = x^2 + y^2$$ Una solución es $(x,y) = (0,1)$ y otra es $(x,y) = (1,0)$. ¿Cómo puedo generar las soluciones más $\mathbb{Q}$ ?

Answer 1

Los casos en que $x$ o $y$ $0$ son fáciles de describir, así que supongo que ni se $0$.

Definir $\lambda$$y=\lambda x$. Desde $x,y\in \mathbb Q$, con ninguno de ellos igual a $0$, podemos ver que $\lambda \in \mathbb Q$.

Su ecuación se convierte en $$\left( (1+\lambda^2)x^2-2x\right)^2=(1+\lambda^2)x^2$$

Dividir a través de por $x^2$ conseguir $$\left( (1+\lambda^2)x-2\right)^2=(1+\lambda^2)\implies x=\frac {2\pm \sqrt {1+\lambda^2}}{1+\lambda^2}$$

Podemos deducir que estamos buscando $\lambda \in \mathbb Q$ tal que $\sqrt {1+\lambda^2}\in \mathbb Q$. Pero tomar cualquier racional terna Pitagórica $(a,b,c)$ da la solución $\lambda =\frac ba$. Por el contrario, dado $\lambda=\frac mn\in \mathbb Q$$\sqrt {1+\lambda^2}=\frac rs\in \mathbb Q$, $$1+\frac {m^2}{n^2}=\frac {r^2}{s^2}\implies (ns)^2+(ms)^2=(rn)^2$ $ para cualquier racional punto en la curva que surge a partir de una terna Pitagórica.

Por ejemplo: a partir de la triple $(3,4,5)$ nos da la solución de $(\frac {33}{25},\frac {44}{25})$

Answer 2

Incluso una ruta más fácil para la generación de puntos racionales es a partir de las ecuaciones paramétricas de la limaçon: $\left((1+2\cos\theta)\cos\theta,(1+2\cos\theta)\sin\theta\right)^\top$, y, a continuación, realizar la sustitución de Weierstrass $\cos\theta\mapsto\frac{1-u^2}{1+u^2},\;\sin\theta\mapsto\frac{2u}{1+u^2}$. Debido a la naturaleza de la sustitución, usted no será capaz de obtener el punto de $(1,0)$, pero todos los demás puntos racionales corresponden a racional de los valores de $u$.