¿Cuándo el flujo de gradiente no convergen?

Question

He estado pensando acerca de gradiente de flujos en el contexto de Morse de la teoría, donde podremos tomar un diferenciable-suficiente de la función $f$ en algo de espacio (por ahora digamos que un compacto de Riemann colector $M$) y el uso de las trayectorias de flujo de gradiente de $x'(t) = - \operatorname{grad} f(x(t))$ a analizar el espacio. En particular, la (onu)estable colectores $$W^\pm(p) = \{ x \in M | x \p \textrm{ bajo gradiente de flujo como } t \a \pm \infty\}$$de puntos críticos de $p$ debe llenar todo el espacio, lo que significa que el gradiente de flujo de cada punto debe converger a un punto crítico de $f$.

La mayoría de las referencias (he estado usando Jost de la Geometría de Riemann y Geométricas Análisis) afirman simplemente que cuando $f$ es Morse (ha no degenerada de Hess en todos los puntos críticos) el gradiente de flujo de siempre converge y, a continuación, seguir adelante, sin ninguna discusión de lo que puede ir mal en los degenerados de los casos. Para los fines de Morse teoría esto no es ningún problema (ya que hay una gran cantidad de funciones de Morse de todos modos), pero tengo curiosidad acerca de lo que los contraejemplos aspecto.

No tengo ningún problema en demostrar que el flujo converge en el Morse caso, pero he tenido problemas para encontrar un ejemplo de una función y un punto inicial para que el flujo no converge. En tal caso, el flujo sería necesariamente asintótica a algún subconjunto del conjunto crítico de $f$, pero no necesariamente a un único punto crítico. Hablé de esto con alguien hace un tiempo y se le dijo que el flujo de siempre convergen en el real de la analítica de la categoría, por lo que cualquier local de ejemplos sería dado por los no-analítica de $f$. Me sugirieron que una función cuya gráfica sobre un plano subconjunto parecía infinitamente mucho "groove" cortar de un golpe (algo así como con los bordes de la ranura de pulido) que hacer el trabajo (con el flujo de procedimiento de abajo de la ranura para siempre); pero pensándolo bien parece que esta función podría no ser diferenciable en la acumulación de círculo.

No conozco a nadie no trivial (ahí están los ejemplos obvios de unbounded funciones en la no-compacto colectores) ejemplos de cómo la trayectoria de flujo de gradiente puede no converger? Estoy particularmente interesado en el simple caso de compact colectores, pero cualquier cosa es bienvenida. Condiciones necesarias (o suficientes condiciones menos restrictivas que Morse) para la convergencia también podría ser interesante.

Answer 1

Esta es una adaptación (y una pequeña corrección) en el ejemplo de la no-convergente geodésica de flujo de calor en la Sección 2 de http://www.math.msu.edu/~parker/ChoiParkerGeodesics.pdf.

Todos los detalles de interés llevará a cabo en un cilindro cerrado $\left[0,\frac{1}{2}\right]\times S^{1}$, pero podemos utilizar un bache de la función a integrar el ejemplo bien en un (compacto) de toro. Vamos $M=\mathbb{T}^{2}=\left(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\right)^{2}$ con las coordenadas de $u,v$ venida de la fundamental de dominio $[-\pi,\pi)^{2}$. Deje que $\eta$ ser una protuberancia de la función que es de $1$ en $\left[-1/2,1/2\right]$ y $0$ fuera $\left[-1,1\right]$. Vamos a considerar la función $$ \phi\left(u,v\right)=\begin{casos} \eta\left(u\right)e^{-1/u}\left(1+\sin\left(\frac{1}{u}-v\right)\right) & \textrm{si }u\en(0,\pi)\\ 0 & \textrm{si }u\en\left[-\pi,0\right] \end{casos} $$ que uno puede comprobar es suave en el toro. Estamos con la esperanza de que podemos hacer que la curva de $v=\frac{1}{u}$ para $u\en\left(0,\frac{1}{2}\right)$ en un gradiente de flujo de trayectoria. En este rango de $u$ podemos utilizar las coordenadas $\left(z,v\right)$ $z=\frac{1}{u}-v$; así queremos encontrar una suave métrica que la curva de $\left\{ z=0\right\} $ es un flujo de gradiente de la trayectoria de $\phi$. Tenga en cuenta que en estas coordenadas $\phi$ toma la forma simple $\phi\left(z,v\right)=1+e^{-z-v}\left(1+\sin z\right)$. Así tenemos $$ d\phi=-e^{-z-v}\left(1+\sin z\right)dv+e^{-z-v}\left(\cos z-\sen z-1\right)dz; $$ así que cuando $z=0$ tenemos $d\phi=-e^{-v}dv$. Por lo tanto una métrica que se el formulario de $g=f^{2}dz^{2}+dv^{2}$ ($f$ un positivo función suave) en esta región sería suficiente, con gradiente de $\nabla\phi=-e^{-v}\partial_{v}$ dando no son convergentes soluciones para todo el tiempo de la forma $\left(u,v\right)\left(t\right)=\left(\frac{1}{\ln\left(c+t\right)},\ln\left(c+t\right)\right)$. En las coordenadas globales esa medida tendría el formulario

$$ g=u^{-4}f^{2}du^{2}+2u^{-2}f^{2}dudv+\left(1+f^{2}\right)dv^{2} $$ en la región de $u\en\left(0,\frac{1}{2}\right)$. La elección de $f=u^{2}$ tenemos $g=du^{2}+2u^{2}dudv+\left(1+u^{4}\right)dv^{2}$ en este la región, que se puede extender a una superficie lisa y no degenerados métrica en la todo el toro por interpolación entre éste y el plano métrico con $\eta$: $$ g:=du^{2}+2\eta\left(u\right)u^{2}dudv+\left(1+\eta\left(u\right)u^{4}\right)dv^{2}. $$ Desde $\eta$ es $1$ en el dominio de interés, esto no cambia el flujo de gradiente de la trayectoria; por tanto, tenemos una función suave en un compacto colector con un flujo de gradiente de la trayectoria de $\left(u,v\right)\left(t\right)=\left(\frac{1}{\ln\left(c+t\right)},\ln\left(c+t\right)\right)$ ($c$ lo suficientemente grande que $1/\ln(c) < 1/2$), que tiene cada punto en el círculo de $\left\{ u=0\right\} $ como la acumulación de punto.