Olimpiada coreana de matemáticas (Construir un rectángulo)

Question

Demostrar que un $m$ × $n$ se puede construir un rectángulo utilizando copias de la siguiente forma si y sólo si $mn$ es un múltiplo de 8 donde $m$ > 1 y $n$ > 1.

Mi solución: partir de formas básicas de 2 × 4 y 3 × 8, que se pueden construir fácilmente a partir de la forma L dada. Esto nos permite construir 3 × 8k formas (k = 1, 2, 3...), añadiendo 2 × 4 formas, podemos construir m × 8k formas, donde m es 3, 5, 7... En este caso, n = 8k, por lo que mn es un múltiplo de 8.

Por otro lado, utilizando sólo la forma básica de 2 × 4, podemos construir 2j × 4k formas, donde mn también es un múltiplo de 8.

Mi pregunta es cómo puedo demostrar que estas son las únicas formas permitidas, que es la parte de la pregunta "sólo si".

Gracias.

Answer 1

$4|mn$ por lo que al menos uno de $m$ o $n$ debe ser uniforme. Supongamos que $n=2k$ . Coloreamos la cuadrícula con columnas alternas blancas y negras de longitud $m$ . $n/2$ columnas blancas y $n/2$ columnas negras. Ahora hay dos tipos de objetos en forma de L, los que cubren 3 casillas blancas, los llamamos tipo A, y los que cubren 1 casilla blanca, los llamamos tipo B.

El número total de casillas blancas es : $\frac{mn}{2}=3n_A+n_B$ . Y el número total de baldosas en forma de L es $\frac{mn}{4}=n_A+n_B$ . Restando ambos lados de las dos ecuaciones tendremos $mn/4=2n_A$ . Así que $mn=8n_A$

(La posición de los azulejos azules en la imagen de abajo es sólo ilustrativa)