El derivado de la función continua $\frac{1}{2+\sin x}$

Question

Yo uso sustitución de medio ángulo tangente para calcular esta integral indefinida: $$ \int \frac{1}{2+\sin x} \,dx = \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}+\text{constant}. $$

Wolfram Alpha también dan la misma respuesta. Sin embargo, $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}}$ es discontinua en $(n+1)\pi$ $n$ dónde está cualquier número entero. ¿Por qué es un anti-derivada de una función continua discontinua?

Answer 1

Vamos a examinar la primera problemática punto positivo, es decir, $\pi$. Sabemos que una antiderivada en el intervalo de $(-\pi,\pi)$ es $$ f_0(x)=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan(x/2)+1}{\sqrt{3}}+c_0 $$ También sabemos que una antiderivada en el intervalo de $(\pi,3\pi)$ es de la forma $$ f_1(x)=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan(x/2)+1}{\sqrt{3}}+c_1 $$ Tenga en cuenta que $$ \lim_{x\to\pi^{-}}f_0(x)=\frac{\pi}{\sqrt{3}}+c_0 $$ y $$ \lim_{x\to\pi^{+}}f_1(x)=-\frac{\pi}{\sqrt{3}}+c_1 $$ así que con el fin de conseguir la continuidad en $\pi$ hemos $$ c_1=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}+c_0 $$

Hacer lo mismo para los otros intervalos.

Answer 2

Una cosa que no destacó mucho en el convencional de cálculo de plan de estudios es que las cosas como $$ \int \frac{dx} x = \log|x| + \text{"constante"} $$ no es cierto a menos que uno toma "constante" para significar seccionalmenteconstante: $$ \int \frac{dx} x = \log|x| + \begin{cases} \text{one constant} & \text{if }x>0, \\ \text{another constant} & \text{if }x<0. \end{casos} $$ y: \begin{align} & \int \sec x\,dx \\[4pt] = {} & \log|\sec x+\tan x| + \cdots \text{what?} \\ & \cdots + \text{a different constant on each interval between vertical asymptotes.} \end{align} Los comentarios en la pregunta en sí misma es bastante bueno hasta el momento:

• "egreg", señala que la técnica de la tangente de la mitad de ángulo de sustitución es válida sólo en los intervalos entre las asíntotas verticales de la función $x\mapsto\tan\frac x 2$. Eso significa que no descarta nada de lo que sucede en esos puntos: no dice que hay una respuesta que hay o que no hay.
• Jeppe Stig Nielsen señala que la antiderivada debe estar en todas partes en aumento ya que la función está integrada en todas partes es positivo. Eso significa que la respuesta no puede ser una función periódica.
• "runaround" y "KCd" nos recuerdan que no hay tal cosa como extraíble discontinuidades.
• Usted mismo señala que la antiderivada de una función continua debe ser continua.

Ahora sólo hay que poner todo de cuatro de estos puntos juntos y averiguar que "constante a trozos" le dará una función continua. Que función va a estar en todas partes en aumento.