He aquí un asintótica obligado - esperamos que sea apretado.
Tiramos $N$ pequeñas bolas de diámetro $D$ al azar (uniformemente) dentro de la gran esfera de radio $R$.
ACTUALIZACIÓN: La nueva versión (mitad inferior) es mejor que lo que sigue a continuación.
Descuidar los efectos de la frontera (razonable si $N$ es grande) la probabilidad de que la bola de $i$ es "libre" (no se superpone con otros) es
$$P(F_i)=\left(1-v(D)\right)^{N-1} \tag{1}$$
donde $v(D) \triangleq D^3/R^3$
La probabilidad de que todas las pelotas son libres pueden ser delimitada como
$$P(\cap F_i)=1- P(\cup F_i^c)\ge 1 - N(1-P(F_i)) \triangleq g(D,N) \tag{2} $$
Para un gran $N$
$$g(D,N) \approx 1 - N^2 \, v(D) \tag{3} $$
en el intervalo donde es positiva, es decir. $0\le D \le D_1 \triangleq R/N^{2/3} $
Ahora, vamos a $t$ ser la mínima distancia entre la esfera de los centros. Entonces
$$P(t \ge D) = P(\cap F_i) \ge g(D,N) \tag{4}$$
Y, a continuación,
$$E(t) = \int_0^{\infty} P(t \ge D) dD \ge\int_0^{D_1} g(D,N) \, dD \approx D_1- N^2 \frac{ D_1^4}{4 R^3} = \frac{3 }{ 4 } \frac{R}{N^{2/3}} $$
(Datos de la simulación sugiere que el orden es el correcto, y así es el obligado, pero el coeficiente real es de alrededor de $1.12$ - quizás $9/8$)
Actualización: (versión Mejorada)
Un mejor enfoque puede ser obtenido considerando en lugar de $F_i$ (libre de bola) en el caso de $S_j\equiv$ "separados par" (par de pelotas están separados, que no se solapen) donde $j$ los índices de la $M=N(N-1)/2 \approx N^2/2$ pares.
Por el mismo razonamiento:
$$P(S_j)=1-v(D) =1 - \frac{D^3}{R^3} \tag{5}$$
$$P(\cap S_i) \ge \max(1 - M(1-P(S_i)),0)= \max\left(1 - M \frac{D^3}{R^3},0\right) \triangleq h(D,M) \tag{6} $$
El rango de $h(D,M)$ es positiva, es decir. $0\le D \le D_2 \triangleq R/M^{1/3} $
Ahora, vamos a $t$ ser la mínima distancia entre la esfera de los centros. Entonces
$$P(t \ge D) = P(\cap S_i) \ge h(D,M) \tag{7}$$
Y, a continuación,
$$E(t) = \int_0^{\infty} P(t \ge D) dD \ge\int_0^{D_2} h(D,M) \, dD =\\
= \frac{3}{4} \frac{R}{M^{1/3}}
\aprox 0.945 \frac{R}{\sqrt[3]{N(N-1)}} \approx 0.945 \frac{R}{N^{2/3}} \etiqueta{8}$$
Actualización 2 : Un simple heurística que parece producir la correcta coeficiente:
Siguiendo el planteamiento anterior, se podría suponer que $S_i$ son asympotically independiente y, a continuación:
$$P(\cap S_i) \approx \left(1-\frac{D^3}{R^3}\right)^M \tag{9}$$
Entonces
$$E(t) \approx \int_0^{R}\left(1-\frac{D^3}{R^3}\right)^M dD =\\= R \, \Gamma(4/3) \frac{\Gamma(M+1)}{\Gamma(M+4/3)} \approx R \, \Gamma(4/3) M^{-1/3} \approx 1.12508368 \frac{R}{N^{2/3}} \tag{10}$$
Actualización 3 : en Cuanto a las correcciones de los efectos de la frontera.
(Supongamos $R=1$ a guardar la notación, es sólo un factor de escala)
Si quisiéramos incluir los efectos de la frontera debemos remplazar $(5)$ (computación en la bolas de intersección como aquí) por
$$1-D^3+\frac{9}{16}D^4 -\frac{1}{32}D^6 \hspace{1cm} 0\le D\le 2$$
La integral se hace más complicada, pero el (primer orden) asintótica resultado no se altera:
Lema: Para cualquier función derivable $g(x)$,$[0,+\infty)$, máximo global en $g(0)=1$, y que tiene cero de primer y segundo derivados de la $g(x)=1-a x^3 + O(x^4)$ tenemos (variación de Laplace método, véase, por ejemplo aquí sec 2.1.3)
$$ \int_0^\infty g(x)^M dx = \frac{\Gamma(1/3)}{3 a^{1/3}} M^{-1/3}+ o(M^{-1/3})$$
que de nuevo conduce a $(10)$.
