Integrante de$\int_{y_1}^{y_2} \exp\left(\, -\alpha x\,\right)\, x \sqrt{1-x^2}{\rm d}x$

Question

¿Tiene una solución de forma cerrada la siguiente integral? $$\int_{y_1}^{y_2} \exp\left (\, \alpha x\, \right) \, x \sqrt{1-x^2}{\rm d} x$$ $$0 < y_1 < 1$$ $$0 < y_2 < 1$$

¿O es una aproximación que trabaja para grandes $\alpha$?

Answer 1

Esto podría ayudar aquí. $$\int^{y_2}_{y_1}\mathrm{e}^{-\alpha x}x\sqrt{1-x^2}dx = -\frac{d}{d\alpha}\int\mathrm{e}^{-\alpha x}\sqrt{1-x^2}dx$$ el uso de $x = \cos u$

entonces

$$\int^{y_2}_{y_1}\mathrm{e}^{-\alpha x}x\sqrt{1-x^2}dx = -\frac{d}{d\alpha}\int_{\cos^{-1}y_1}^{\cos^{-1}y_2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}\sin^2 u du$$ aquí la última parte fue editado por @semiclásica ojo :). ahora el uso de $$-\sin^2 u = \cos^2 u - 1$$

nos encontramos $$\frac{d}{d\alpha}\int_{\cos^{-1}y_1}^{\cos^{-1}y_2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}\left[\cos^2 u -1\right]du = \frac{d}{d\alpha}\left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]\int_{\cos^{-1}y_1}^{\cos^{-1}y_2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}du$$

$\textbf{update}$ Para el caso especial de $$\begin{eqnarray} \cos^{-1}y_1 &=& \pi/2,\\ \cos^{-1}y_2 &=& 0. \end{eqnarray}$$ que corresponde a la elección de $(y_1,y_2) = (0,1)$ obtenemos $$\int^{0}_{\pi/2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}du = -\int_{0}^{\pi/2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}du = -\frac{\pi}{2}\left[I_0(\alpha) - L_0(\alpha)\right]$$

así $$\frac{d}{d\alpha}\left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]\int_{\cos^{-1}y_1}^{\cos^{-1}y_2}\mathrm{e}^{-\alpha \cos u}du =\frac{d}{d\alpha}\left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]\left(\frac{\pi}{2}\left[I_0(\alpha) - L_0(\alpha)\right]\right)$$

$$\begin{eqnarray} \frac{d}{d\alpha}\left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]I_{0}(\alpha) &=& \frac{d^2}{d\alpha^2}I_{1}(\alpha) - I_{1}(\alpha)\\ &=& \frac{d}{d\alpha}\left[\frac{1}{\alpha}I_1(\alpha)+I_2(\alpha)\right] -I_1(\alpha)\\ &=& I_3(\alpha) +\frac{3}{\alpha}I_2(\alpha)- I_{1}(\alpha) \end{eqnarray}$$ y $$\begin{eqnarray} \frac{d}{d\alpha}\left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]L_{0}(\alpha) &=& \left[\frac{d^2}{d\alpha^2} - 1\right]\left(\frac{1}{2}\left[L_{-1}(\alpha) +L_1(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}\right]\right)\\ &=& \left[\frac{d^2}{d\alpha^2}-1\right]g(\alpha) \end{eqnarray}$$ $$g'(\alpha) = \frac{1}{4}\left[L_{-2}(\alpha)+2L_0(\alpha) +L_2(\alpha) + \frac{2\alpha^{-1}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}+\frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)}\right],\\ g"(\alpha) = \frac{1}{8}\left[L_{-3}(\alpha) + 3L_{-1}(\alpha) + 3L_{1}(\alpha)+L_{3}(\alpha) + \frac{4\alpha^{-2}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{-1}{2}\right)} +\frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}+\frac{2^{-2}\alpha^2}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}\right]$$

Por lo tanto para este caso especial $$\int^{1}_{0}\mathrm{e}^{-\alpha x}x\sqrt{1-x^2}dx =\\ -\frac{\pi}{2}\left[I_3(\alpha) +\frac{3}{\alpha}I_2(\alpha)- I_{1}(\alpha)-\frac{1}{8}\left[L_{-3}(\alpha) - L_{-1}(\alpha) - L_{1}(\alpha)+L_{3}(\alpha) + \frac{4\alpha^{-2}}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{-1}{2}\right)} -\frac{2}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}+\frac{2^{-2}\alpha^2}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)}\right]\right]$$ y subbing en $\Gamma$'s encontramos $$-\frac{\pi}{2}\left[I_3(\alpha) +\frac{3}{\alpha}I_2(\alpha)- I_{1}(\alpha)-\frac{1}{8}\left[L_{-3}(\alpha) - L_{-1}(\alpha) - L_{1}(\alpha)+L_{3}(\alpha) -\frac{2\alpha^{-2}}{\pi} -\frac{8}{3\pi}+\frac{2\alpha^2}{15\pi}\right]\right]$$

ps. sigue haciendo preguntas, espero que no me han hecho otro tonto error.

Answer 2

¿La siguiente integral tiene una forma cerrada de la solución?

En términos de funciones elementales ? No, no , no. Sin embargo, para $y=\pm1$ forma cerrada no existe, sino en términos de las especiales funciones de Bessel yo y Struve L.

Answer 3

Parece que hay una forma cerrada, pero no he trabajado aún. Sin embargo, usted puede tener esta buena aproximación para un gran $\alpha$

$$I \sim_{\alpha \sim \infty} \frac{1}{\alpha^2}- {\frac { \left( \alpha\,y+1 \right) {{\rm e}^{ -\alpha\,y}}}{{\alpha}^{2}}}.$$

Usted puede utilizar el método de Laplace. Ver mi respuesta , donde presenté la idea básica detrás de ella. Tenga en cuenta que puede aproximaciones mejores si usted quiere. Aquí es un caso especial de $\alpha=100, y=1$

$$0.00009997,\\ 0.0001000 .$$

los que corresponden a la evaluación de la integral y la aproximación respectivamente.

Answer 4

Sugerencia:

$\int_{y_1}^{y_2}e^{-\alpha x}x\sqrt{1-x^2}~dx$

$=\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}e^{-\alpha\sin x}\sin x\sqrt{1-\sin^2x}~d(\sin x)$

$=\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}e^{-\alpha\sin x}\sin x\cos^2x~dx$

$=\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}e^{-\alpha\sin x}\sin x(1-\sin^2x)~dx$

$=\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}e^{-\alpha\sin x}\sin x~dx-\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}e^{-\alpha\sin x}\sin^3x~dx$

$=\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n}\sin^{2n+1}x}{(2n)!}dx-\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}\sin^{2n+2}x}{(2n+1)!}dx-\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n}\sin^{2n+3}x}{(2n)!}dx+\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}\sin^{2n+4}x}{(2n+1)!}dx$

$n$ Es cualquier entero no negativo,

$\int\sin^{2n+2}x~dx=\dfrac{(2n+2)!x}{4^{n+1}((n+1)!)^2}-\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(2n+2)!(k!)^2\sin^{2k+1}x\cos x}{4^{n-k+1}((n+1)!)^2(2k+1)!}+C$

Este resultado puede hacerse por la sucesiva integración por partes.

Del mismo modo, $\int\sin^{2n+4}x~dx=\dfrac{(2n+4)!x}{4^{n+2}((n+2)!)^2}-\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(2n+4)!(k!)^2\sin^{2k+1}x\cos x}{4^{n-k+2}((n+2)!)^2(2k+1)!}+C$

$\int\sin^{2n+1}x~dx$

$=-\int\sin^{2n}x~d(\cos x)$

$=-\int(1-\cos^2x)^n~d(\cos x)$

$=-\int\sum\limits_{k=0}^nC_k^n(-1)^k\cos^{2k}x~d(\cos x)$

$=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}n!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k)!(2k+1)}+C$

Del mismo modo, $\int\sin^{2n+3}x~dx=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(-1)^{k+1}(n+1)!\cos^{2k+1}x}{k!(n-k+1)!(2k+1)}+C$

$\therefore\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n}\sin^{2n+1}x}{(2n)!}dx-\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}\sin^{2n+2}x}{(2n+1)!}dx-\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n}\sin^{2n+3}x}{(2n)!}dx+\int_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}\sin^{2n+4}x}{(2n+1)!}dx$

$=\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}n!\alpha^{2n}\cos^{2k+1}x}{(2n)!k!(n-k)!(2k+1)}\right]_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}-\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}x}{2^{2n+1}n!(n+1)!}-\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(k!)^2\alpha^{2n+1}\sin^{2k+1}x\cos x}{2^{2n-2k+1}n!(n+1)!(2k+1)!}\right]_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}-\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(-1)^{k+1}(n+1)!\alpha^{2n}\cos^{2k+1}x}{(2n)!k!(n-k+1)!(2k+1)}\right]_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}+\left[\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+3)\alpha^{2n+1}x}{4^{n+1}n!(n+2)!}-\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(2n+3)(k!)^2\alpha^{2n+1}\sin^{2k+1}x\cos x}{4^{n-k+1}n!(n+2)!(2k+1)!}\right]_{\sin^{-1}y_1}^{\sin^{-1}y_2}$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{k+1}n!\alpha^{2n}\left((1-y_2^2)^{k+\frac{1}{2}}-(1-y_1^2)^{k+\frac{1}{2}}\right)}{(2n)!k!(n-k)!(2k+1)}-\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{\alpha^{2n+1}(\sin^{-1}y_2-\sin^{-1}y_1)}{2^{2n+1}n!(n+1)!}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(k!)^2\alpha^{2n+1}\left(y_2^{2k+1}\sqrt{1-y_2^2}-y_1^{2k+1}\sqrt{1-y_1^2}\right)}{2^{2n-2k+1}n!(n+1)!(2k+1)!}-\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(-1)^{k+1}(n+1)!\alpha^{2n}\left((1-y_2^2)^{k+\frac{1}{2}}-(1-y_1^2)^{k+\frac{1}{2}}\right)}{(2n)!k!(n-k+1)!(2k+1)}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{(2n+3)\alpha^{2n+1}(\sin^{-1}y_2-\sin^{-1}y_1)}{4^{n+1}n!(n+2)!}-\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^{n+1}\dfrac{(2n+3)(k!)^2\alpha^{2n+1}\left(y_2^{2k+1}\sqrt{1-y_2^2}-y_1^{2k+1}\sqrt{1-y_1^2}\right)}{4^{n-k+1}n!(n+2)!(2k+1)!}$