Negación de la inyectividad

Question

Tengo algunos problemas para entender la negación de la inyectividad.

Tome la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $f(x) = x^2$ . La definición formal de inyectividad es $f(a)=f(b) \implies a = b$ . Por lo tanto, la función $f(x)$ no es inyectiva porque $-1 \neq 1$ mientras que $f(-1)=f(1)=1$ .

Pero cuando intento especificar la negación de la afirmación "f es inyectiva", me encuentro con problemas. Sé que la negación de "P implica Q" es "P pero no Q", así que la definición formal de no inyectividad debería ser $f(a)=f(b) \implies a\neq b$ ¿cierto? El problema es que esta afirmación no es válida para la función $f(x)=x^2$ porque $f(1) = f(1)$ aunque no es cierto que $1 \neq 1$ .

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Por definición, $f$ es inyectiva si y sólo si

$$ \forall(a,b) \in \mathbb{R}^2: f(a)=f(b) \implies a=b. $$

La negación de esta afirmación es

$$ \exists (a,b) \in \mathbb{R}^2: f(a)=f(b) \quad \text{and} \quad a \neq b. $$

$f(x)=x^2$ no es inyectiva porque existe el par $(-1,1)$ tal que $(-1)^2 = 1^2$ pero $-1 \neq 1.$

Answer 2

Existe $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $f(a) = f(b)$ pero $a\neq b$ es una negación de la inyectividad.

Answer 3

"P pero no Q" por lo que la definición formal de no inyectabilidad debería ser $f(a)=f(b) \implies a\neq b$ ¿verdad?

Equivocado, pero casi. Has dicho "P pero no Q" (que en realidad significa "P y no Q") y luego has escrito el equivalente a "P implica no Q". Son diferentes.

También hay que tener cuidado con la forma de tomar la negación dentro de un cuantificador. La definición de inyectividad es realmente "para todo $x,y$ algo", que se niega como "existe $x,y$ por lo que NO es algo". Sustituyendo "P implica Q" por "algo", y utilizando la regla de negación de una implicación, obtenemos que la negación de "para $x,y$ P implica Q" es "existe $x,y$ tal que P y no Q".

Answer 4

Como se nota la negación de $P$ implica $Q$ es $P$ pero no $Q$ . Sin embargo, este hecho formal para la inyectividad debe ser declarado $f(a)=f(b) \wedge a\neq b$ es decir, ambas declaraciones $f(a)=f(b) $ y $a\neq b$ mantener, para algunos números $a$ y $b$ .