El juego de los ángeles y los demonios ( http://en.wikipedia.org/wiki/Angel_problem ) es un juego de dos jugadores, que se juega en un tablero de ajedrez infinito (es decir, las coordenadas enteras de $\mathbb{R}^2$ ). Un jugador es el ángel y el otro es el diablo y se alternan los turnos. El ángel empieza en el origen, y en su turno puede moverse hasta $k$ casillas, combinando movimientos horizontales, verticales y/o diagonales. Es decir, puede llegar a todas las casillas como máximo $k$ el rey del ajedrez se aleja. En su turno, el diablo elige una casilla cualquiera (que no esté ocupada por el ángel) y se la come. Después de comerse una casilla, el ángel no puede volver a posarse en ella. El diablo ahora gana si después de una cierta cantidad de movimientos el ángel es incapaz de moverse. El ángel gana si puede sobrevivir indefinidamente. Se ha demostrado que el ángel puede ganar este juego si $k \ge 2$ .
Ahora, a mi pregunta. En este documento: http://library.msri.org/books/Book29/files/conway.pdf John Conway demuestra que el diablo puede, independientemente de $k$ , coger un tonto : un ángel al que siempre se le exige que aumente su coordenada y. El caso es que no entiendo la prueba. O, si la entiendo, está mal. Puedes leer la prueba de este teorema en el archivo pdf (es el Teorema 3.1, en la página 3 del archivo pdf). Aunque es bastante corta, por comodidad, copiaré aquí las primeras líneas, que ya me confunden:
Si el Loco se encuentra alguna vez en algún punto P, estará en todos los momentos posteriores en el "cono ascendente" desde P, cuya frontera está definida por los dos rayos ascendentes de pendiente $\pm$ 1/1000 hasta P. Entonces aconsejamos al Diablo que actúe como sigue: debe truncar este cono por una línea horizontal AB a una altura muy grande H por encima de la posición inicial del Loco, y usar sus primeros movimientos para comerse una de cada M casillas a lo largo de AB, donde M se elige de modo que esta tarea esté cómodamente terminada cuando el Ángel alcance un punto Q en la línea media que esté distante H/2 por debajo de AB.
Ahora, la cosa es, ¿no es M una función de H? Es decir, ¿cómo puedes elegir M de forma que puedas comerte todas esas casillas M antes de que el ángel esté en Q? Porque el ángel puede llegar a Q en H/2k turnos, y M es, si mis cálculos son correctos, igual a 2Hk+1, que es más que H/2k para todo $k$ . La conclusión de esta prueba es (suponiendo en aras de la concreción $k = 1000$ ), que si se elige que H sea $1000 * 2^n$ donde $n > 1000M$ entonces el diablo ganará. Pero no entiendo cómo puedes elegir $H$ mayor que alguna función de $M$ si $M$ depende de $H$ . ¿Alguien puede arrojar algo de luz?
