Demostrando que una homotopía fibra de una fibración es homotopía equivalente a la fibra del punto base.

Question

Suponga $(E, e_0)$ $(B, b_0)$ se basan en los espacios con la indicada en los puntos de base.

Dada una base de fibration $p: E \rightarrow B$. Tenemos los respectivos homotopy: fibra \begin{equation} Fp= \{(e,\beta) | \beta(1)=p(e)\} \subset E \times F(I,B) \end{equation} Escribí $F(I,B)$ como la ruta de espacio para $B$ o en el espacio de la base de los mapas de la unidad de intervalo de a $B$ que envían $0$$b_0$.

Pregunta: La fibra de $F=p^{-1}(b_0)$ tiene una inclusión mapa de $\phi: F \rightarrow Fp$ donde $e \mapsto (e, c_{b_0})$ es un homotopy de equivalencia.

Lo que he pensado hasta ahora: La ruta de la asignación de espacio $Np=\{(e, \beta)| \beta(1)=p(e)\}\subset E \times F(I_{+}, B)$. $I_{+}$ es la unión de la unidad de intervalo y arbitraria en el distinto punto de base.

Podemos reemplazar $p: E \rightarrow B$ con la composición de $\nu:E \rightarrow Np$ con $ \rho: Np \rightarrow B$. $\nu$ enviará $e \mapsto (e, c_{p(e)})$ $\rho$ le enviará $(e,\beta) \mapsto \beta(1)$.

El mapa de $\nu$ es un homotopy de equivalencia ya que puede deformar $Np$ $\nu(E)$el uso de la homotopy que envía a $(e, \beta(t), s)$$(e, \beta((1-s)t)$. También tenemos que $\rho^{-1}(b_0)$ es el homotopy fibra $Fp$.

Es difícil sacar una deformación similar si es que hay uno. Aquí es donde actualmente estoy atascado y consejos sobre el asunto va a ser útil.

Answer 1

Este es un hecho general acerca del modelo de categorías y homotopy pullbacks, como se evidencia por Zhen Lin comentario. Es también reconocido como un caso especial de la Proposición 4.65 en Hatcher del libro. Permítanme, no obstante, explicar el argumento, precisamente, para espacios topológicos.

Definir $E_p = \{ (y, \gamma) \in E \times B^{[0,1]} \mid p(y) = \gamma(0) \}$. Hay un mapa (de hecho, un fibration) $q : E_p \to B$, $(y,\gamma) \mapsto \gamma(1)$, y el homotopy fibra es la fibra $F_p = q^{-1}(b_0)$. La inclusión $$i : F = p^{-1}(b_0) \to F_p$$ is given by $i(y) = (y, \mathrm{cst}_{b_0})$.

Definir un homotopy $g_t : E_p \to B$, $(y,\gamma) \mapsto \gamma(t)$. A continuación,$g_0(y, \gamma) = \gamma(0) = p(y)$, lo $g_0$ ascensores a través de $p$ por $\bar{g}_0 : E_p \to E$, $\bar{g}_0(y,\gamma) = y$ (es decir,$p \circ \bar{g}_0 = g_0$). Debido a $E \to B$ es un fibration, por el homotopy elevación de la propiedad, hay un completo levantamiento de $\bar{g}_t : E_p \to E$ $g_t$ a través de $p$. En otras palabras, $\bar{g}_t$ satisface la siguiente ecuación: $$p(\bar{g}_t(y,\gamma)) = \gamma(t).$$

Ahora restringir todo a las fibras: vamos a $h_t : F_p \to F_p$ ser dado por $h_t(y,\gamma) = \bigl(\bar{g}_t(y,\gamma), \gamma_{\mid [t,1]} \bigr)$ (a causa de la ecuación anterior, esto es, en $F_p$). A continuación, $h_0$ es la identidad, mientras que el $h_1(y,\gamma) = (\bar{g}_1(y,\gamma), \mathrm{cst}_{b_0})$ es en la imagen de $i : F \to F_p$. Y ahora que $h_t$ es un homotopy entre el $ih_1$ y la identidad, mientras que la restricción de $h_t$ es un homotopy entre el $h_1i$ y la identidad. Por lo tanto $F$ $F_p$ son homotopy equivalente.

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Comentario Final: es mucho más sencillo demostrar que $F$ $F_p$ son débilmente homotopy equivalente, porque el mapa $i$ induce fácilmente un isomorfismo en todos los homotopy grupos. La plaza $$\requieren{AMScd} \begin{CD} E @>>> E_p \\ @VVV @VVV \\ B @>>> B \end{CD}$$ induce un mapa entre el largo exacto de las secuencias de los respectivos fibrations: $$\begin{CD} \dots @>>> \pi_n(F) @>>> \pi_n(E) @>>> \pi_n(B) @>>> \pi_{n-1}(E) @>>> \dots \\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV @. \\ \dots @>>> \pi_n(F_p) @>>> \pi_n(E_p) @>>> \pi_n(B) @>>> \pi_{n-1}(E) @>>> \dots \end{CD}$$ Desde $E$ $E_p$ son homotopy débilmente homotopy equivalente ($PB$ es contráctiles), y así por el cinco lema y la inducción, los mapas de $\pi_n(F) \to \pi_n(F_p)$ son isomorphisms.