El número de curvas de da género sobre un campo

Question

Que $k$ ser un campo. Que $g\geq 0$ ser un número entero.

Tengo una pregunta elemental.

Que $N$ sea el "número" de $k$-isomorfismo clases de curvas geométricamente conectadas proyectivas lisas $k$ $g$ de género. (Tenga en cuenta que $N$ puede $\infty$.)

¿Es $N$ finito si $k$ es finito?

¿Cuál es $N$ finito en general?

Estoy buscando la respuesta "más elemental".

Answer 1

Sí, este número es finito cuando el campo $k$ es finito. Utilizar alguna versión de la canónica de incrustación para demostrar que su curva se puede realizar en algunos proyectiva del espacio mediante ecuaciones delimitada por un cierto grado, y, a continuación, observe que sólo hay un número finito de polinomios con un determinado número de variables y de grado por encima del $k$. Para un infinito campo el número de clases de isomorfismo es infinita, tan pronto como $g \geq 1$: se puede considerar un hyperelliptic curva definida por una selección de $2g+2$ $\mathbf P^1$ (se considera a la acción de $\mathrm{Aut}(\mathbf P^1)$), y hay infinitamente muchas de esas opciones cuando el campo es infinito.

Un método más sofisticado (al $g \geq 2$) utiliza la existencia de un espacio de moduli de curvas de género. Si $M_g$ es el grueso del espacio de moduli de curvas de género $g$ $k$ es un campo finito, entonces uno tiene la fórmula $$ \# M_g(k) = \sum_{[C]} \frac{1}{\# \mathrm{Aut}_k(C)}$$ donde la suma de los rangos de más de $k$-clases de isomorfismo de las curvas de $C$, y claramente $\# M_g(k)$ es finito. Por desgracia, la única prueba de esta fórmula, que sé que utiliza el Grothendieck-Lefschetz traza de fórmula en los módulos de la pila...