$L^q(X) \subset L^p(X)$ si $p\leq q$$\mu(X) < \infty$.

Question

Deje $(X,\mathfrak{M},\mu)$ ser una medida en el espacio. Mostrar que si $\mu(X) < \infty$$L^q(X) \subset L^p(X)$$1\le p \le q \le \infty$.

Es suficiente para definir $$E_0 = \{x \in X \, : \, 0 \leq |f(x)| < 1\}$$ y $E_1 = X \setminus E_0$ , de modo que $\mu(E_0), \, \mu(E_1) < \infty$ $E_0$ es medible como $E_0 = \{x \in X : |f(x)| \geq 0 \} \cap \{x \in X : |f(x)| \leq 1 \}$ $f$ es medible. Por lo tanto, si $f \in L^q$,

\begin{eqnarray*} ||f||^p_{L^p} &=& \int_{E_0}|f|^p \, d\mu + \int_{E_1} |f|^p \, d\mu \\ &\leq& \int_{E_0}|f|^p \, d\mu + \int_{E_1} |f|^q \, d\mu \\ &<& \mu(E_0) \,\, + ||f||_{L^q}^q \\ &<& \infty. \end{eqnarray*}

lo que implica $f \in L^p$.

Doe esto suficiente? He visto una prueba de uso del Titular de la desigualdad (que ahora se ha dado como una respuesta para aquellos interesados), que es mucho más corto, pero, ¿suficiente?

Answer 1

La prueba está bien. Usted también puede tratar de demostrar que si $p<q$ $$\lVert f\rVert_p \leqslant \lVert f\rVert_q \mu(X)^{1/p-1/q}$$

mediante el uso de Hölder la desigualdad. Esto le da un poco más de información de su prueba. En particular, para $X$ de probabilidad espacio da $p\mapsto \lVert f\rVert_p$ es cada vez mayor.