¿Existe un símbolo matemático para "Para cada elemento"?

Question

¿Existe un símbolo matemático que signifique "Para cada elemento"? Quiero que el significado tenga una función similar a la de una iteración, digamos un bucle for.

Answer 1

Esto debería funcionar.

$\forall x\in A\cdots$

Answer 2

Sigo pensando que el cuantificador universal es la respuesta que buscas.

Por las palabras que utilizas, por ejemplo, "bucle" e "iteración", deduzco que tu confusión puede venir del hecho de que en matemáticas no hay variables, sino constantes (aquí utilizo el significado de la informática). Por ejemplo, cuando defines $x = 2$ aunque el matemático diría que es una variable, de hecho (en el sentido de la informática) es una constante: se pone $x$ sólo una vez, y después no cambia. Si lo hiciera, entonces tendríamos una contradicción, es decir $x = 2 \land x \neq 2$ (por favor, tenga en cuenta que si hay otros $x$ -es en el texto, sólo significa que esos son diferentes pero con el mismo nombre).

Así, cuando el informático escribió

for i from 2 to n do 
    a[i] := a[i-1] + a[i-2]

entonces el matemático escribiría $\forall i \in \{2,\ldots,n\}.\ a_i = a_{i-1} + a_{i-2}$ . El orden no importa, $a_i$ -s son constantes que se definen mediante dicha fórmula recursiva y ya está. Puede que no sepas cuántas soluciones hay (ninguna, una, muchas ), pero normalmente sí lo sabes si la fórmula es lo suficientemente sencilla. No te importa cómo calcularla, cuánto tiempo te llevaría o preocuparte de si tienes suficiente memoria para calcularla esos problemas no son interesantes :-)

¡Bienvenido a las matemáticas!

P.D. Naturalmente, hay ámbitos de las matemáticas (sobre todo la informática teórica :D) en los que sí te importan esas cosas, sólo te estoy tomando el pelo ;-)

Answer 3

El propio concepto de "hacer algo en algún orden" no tiene realmente sentido en matemáticas. Las cosas se definen de una vez por todas, el conjunto existe "todo el tiempo". Esto tiene la gran ventaja de que no hay ambigüedad: "¿quieres decir que la variable en la posición $n$ ¿antes o después de pasar por el bucle?"

Si vienes de la programación imperativa, puede que te sorprenda que sea posible hacer cualquier cosa útil cuando no se permite modificar algo después de su definición. Pero es muy posible - ¡también en programación! Lo que podrías escribir en C como

int v[14];
v[0] = first_value;
for(int i=1; i<14; ++i)
  v[i] = function_for_next(v[i-1]);

también puede escribirse, sin mencionar explícitamente un "orden" en el que se recorre el conjunto, como una construcción recursiva de, por ejemplo, una lista enlazada. En Haskell,

v = vBuild 0 firstValue
     where vBuild 14 _ = []
           vBuild i lastValue
               = lastValue : vBuild (i+1) (functionForNext lastValue)

o simplemente

v = take 14 $ iterate functionForNext firstValue

Esto también funciona para ejemplos arbitrariamente más complicados, de hecho sólo se necesita un sistema de notación muy sencillo para calcular cualquier cosa que se puede calcular en absoluto . Y en matemáticas, normalmente no te interesa tanto cómo calcular los resultados (así que no es un problema si algunos cálculos son un poco menos eficientes sin estado explícito, variables mutables, iteraciones, etc.), pero siempre es muy importante que las expresiones no sean ambiguas para poder demostrar varias propiedades.

Answer 4

Por tus comentarios, parece que quieres tomar los elementos de tu conjunto de índices en un orden específico, como en una iteración.

No existe un símbolo único para ello; la abreviatura general sólo funciona cuando el conjunto de índices tiene tipo de orden $\omega$ es decir, está indexado por $\mathbb{N}$ en cuyo caso la forma estándar de señalizarlo sería "para $i=1,2,3,\ldots$ ".

Answer 5

Buscando una notación formal para la misma, creo que $\{\dots\}$ debería ser la respuesta correcta, ya sea $\{1,2,3,4,5\}$ o $\{x$ $|$ alguna condición aquí $\}$

Entonces un "bucle" que, por ejemplo, da el doble por cada elemento de un conjunto $A=\{x$ $|$ alguna condición aquí $\}$ se puede escribir como $\{y$ $|$ $\forall x\in A,$ $y=2x\}$

En cuanto a la programación, dependiendo de la aplicación tiene sentido hacer un bucle de un conjunto. Por ejemplo en python existe el set() que garantiza que una colección de valores (es decir, una lista o una tupla) es un conjunto (sin duplicados) y es definitivamente iterable.