Si G es un grupo que contiene elementos de orden 1 a 5, ¿cuál es el mínimo orden posible de este grupo?
Mi respuesta: Sabemos que el orden de los elementos de un grupo divide el orden del grupo, por lo que el mínimo orden posible de G sería el m.c.l. de 1, 2, 3, 4 y 5 que es 120.
Sólo quería confirmar si estoy en lo cierto.
Considere $Z_{60}$ el grupo cíclico de orden 60. Si está generado por $x$ entonces $x^0$ tiene el orden 1, $x^{30}$ tiene el orden 2, $x^{20}$ tiene el orden 3, $x^{15}$ tiene un orden 4, y $x^{12}$ tiene el orden 5. Obsérvese que por su argumento, sabemos que los lcm de 1, 2, 3, 4 y 5 deben dividir el orden de tal grupo, y como el lcm es 60, el mínimo orden posible es 60, y efectivamente, como acabamos de demostrar, existe un grupo con esta propiedad de este orden.
Y esto se generaliza fácilmente. Si la lista de órdenes de elementos requeridos se cambia de $1,2,3,4,5$ en $r_1,r_2,\ldots,r_n$ entonces considere $r=\mathrm{lcm} (r_1,r_2,\ldots,r_n)$ . Entonces la respuesta debe ser al menos $r$ por el propio argumento del preguntante de que el orden de un elemento divide el orden del grupo. Y también la respuesta debe ser como máximo $r$ ya que el grupo cíclico $Z_r$ de orden $r$ obras. Así que la respuesta es exactamente $r$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
8 votos
El lcm de 1,2,3,4,5 es de 60...
0 votos
¡Ups! Sí, tienes razón.
4 votos
La respuesta de jgon es acertada, pero quería destacar un paso importante del proceso. Su argumento muestra que el pedido mínimo es al menos $60$ . Pero, ¿cómo sabes que no hay alguna otra condición que se te escapa y que realmente hace que el mínimo sea mayor? Por ejemplo, a priori, podría haber algún teorema como "Todo grupo con un elemento de orden 2 y 3 tiene uno de orden 345". La forma de descartar este tipo de cosas es construir un ejemplo explícito con $60$ elementos, como hace jgon. En resumen, su argumento da un límite inferior de $60$ mientras que la de jgon da un límite superior de $60$ .