Suponga $n=1$$u(x,t)=v(\frac{x}{\sqrt{t}})$.
(a) Mostrar que $u_t = u_{xx}$ si y sólo si $$v''+\frac z2 v' = 0. \tag{$*$}$$ Show that the general solution of $(*)$ is $$v(z)=c \int_0^z e^{-s^2/4} \, ds + d.$$
(b) Diferenciar $u(x,t)=v(\frac x{\sqrt{t}})$ con respecto al $x$ y seleccionar la constante de $c$ adecuadamente, para obtener la solución fundamental a$\Phi$$n=1$. Explique por qué este procedimiento se obtiene la solución fundamental. (Sugerencia: ¿Cuál es la condición inicial para $u$?)
Este problema es de la PDE Evans, 2ª edición, Capítulo 2 Ejercicio 13. Mi pregunta es sobre la parte B: ¿por qué el procedimiento para obtener la solución fundamental a $\Phi$?
Para el contexto, tenemos (página 46 del libro de texto):
DEFINICIÓN. La función de $$\Phi(x,t) := \begin{cases} \frac 1{(4\pi t)^{n/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} & (x \in \mathbb{R}^n, t > 0) \\ 0 & (x \in \mathbb{R}^n, t = 0)\end{cases}$$ se llama la solución fundamental de la ecuación del calor.
En primer lugar, entiendo la parte (a). También entiendo que la mayoría de la parte (b). He seguido el proceso de la misma y obtiene la solución fundamental a$\Phi$$n=1$, con la constante $c$ elegido para ser $c=\frac 1{(4\pi)^{1/2}}$. Puedo obtener: $$u_x(x,t)=\frac{\partial}{\partial x} v(\frac x{\sqrt{t}}) = \frac c{t^{1/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}=\frac 1{(4\pi t)^{1/2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}} =: \Phi,$$ como se requiere.
Pero la última parte de la pregunta ¿por qué hace este procedimiento de trabajo, que se pidió en las últimas dos líneas del problema planteado. No sé por qué esto funciona; he tratado de encontrar la condición inicial para $u$ por el dado indicio, es decir, encontrar $u(x,0)$ (sustituto $t=0$), pero fue en vano.
