Soy nuevo en este negocio de teoría de números, por no mencionar terriblemente ingenuo. Me pregunto si alguien podría explicar la técnica (asumiendo que haya una) para mostrar si la expresión
$12C - 3$
(donde $C$ es cualquier número cúbico mayor que $1$) puede ser alguna vez un número cuadrado.
En particular, estoy buscando un número cuadrado congruente a $3 \mod 6$, pero me conformaré con cualquier número cuadrado por ahora. Una búsqueda simple de los primeros cientos de números cúbicos no arrojó nada (aparte del trivial $C = 1$)
Disculpa si esta pregunta hace que los matemáticos rueden los ojos.
Muchas gracias por tu ayuda. Por cierto, si alguien puede sugerir una introducción realmente suave a la teoría de números, ¿te importaría recomendarme un libro? Gracias.
Sinceramente,
Mike.
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Deje que $a, b$ sean números naturales de modo que $12a^3-3=b^2$, y luego manipule esta ecuación para tratar de encontrar una solución. O, para su segunda pregunta, intente encontrar $n\in\Bbb{N}$ de modo que $n^2\equiv 3 \mod 6$.
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@KSmarts: Eso es simplemente volver a plantear la pregunta, ¿no es así? Escribir $12a^3-3=b^2$ es una formulación del problema más convencional que el del OP, pero no parece representar ningún avance real en la resolución del mismo.
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Para que el cuadrado sea $3 \pmod 6$, esto sucede si y solo si la raíz del cuadrado es justamente $3\pmod 6$, por lo que en ese caso la ecuación es $12a^3-3=(6c+3)^2$ - lo cual se reduce a $a^3=3c^2+3c+1$.
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Solo un pequeño comentario: $12C-3$ siempre es congruente a $3$ $\mod 6$ para un entero $C$, ya que $12C-3 = 6(2C-1) +3$.
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@Henning Malkolm Y esto significa que $a^3+c^3 = (c+1)^3$ lo cual es imposible para $c>0$. Por lo tanto, $C=1$ es la única solución.
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@Litho: Eso parece cerrar el caso. Deberías escribirlo como una respuesta.
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Estás buscando soluciones enteras para $y^2 = 12 x^3 - 3$. Aunque el factor $12$ hace que esto estrictamente hablando esté fuera de la definición de curva elíptica, la mayoría de los trabajos sobre ellas se aplican. En particular, el teorema de Siegel dice que solo habrá un número finito de soluciones enteras. Sin embargo, en general, las curvas elípticas son difíciles, y si hay un método general para encontrar todas las soluciones, probablemente sea demasiado complicado de explicar aquí. Para esta ecuación en particular, el razonamiento de Henning anterior muestra que no hay otras soluciones.
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Gracias por tu comentario. Me da algo para buscar. Las ecuaciones elípticas se ven muy aterradoras, ¡especialmente para un no matemático!