Componente irreductible del producto de fibra de los esquemas

Question

Tengo algunas preguntas sobre geometría algebraica que pueden ser elementales y aburridas (lo siento).

Dejemos que $R$ sea un anillo - digamos, un dominio integral que es noetheriano. Sea $X$ y $Y$ sea $R$ -variedades - es decir, esquemas integrales separados de tipo finito sobre $R$ . Sea $f: X \to Y$ sea un morfismo dominante de $R$ -variedades. Sea $\beta: Y' \to Y$ sea un morfismo propio y biracional.

• Creo que el producto de fibra $X \times_Y Y'$ puede ser reducible, pero ¿alguien conoce un ejemplo sencillo de este fenómeno?
• ¿Es cierto que el producto de fibra $X \times_Y Y'$ tiene un único componente irreducible $X'$ que domina $Y'$ ?
• Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿es cierto que la composición $X' \to X \times_Y Y' \to X$ ¿es birracional?

Answer 1

1. En primer lugar, observe que existe un subconjunto abierto denso $V$ de $Y$ tal que $\beta^{-1}(V)\to V$ es un isomorfismo. Por encima de esto $V$ , $X\times_Y Y'$ es entonces canónicamente isomorfo a $f^{-1}(V)$ .

2. Dejemos que $R$ sea un campo algebraicamente cerrado, $Y$ una curva con un nodo $y_0$ y $Y'\to Y$ el mapa de normalización. Sea $X$ sea cualquier variedad normal con un morfismo suryente a $Y$ . Entonces $X\times_Y Y'\to X$ es finito (porque $Y'\to Y$ es finito). Si $X\times_Y Y'$ fueran irreducibles, entonces $(X\times_Y Y')_{\mathrm{red}}$ sería integral, finita y biracional (por (1) anterior) a $X$ . Como $X$ es normal, $(X\times_Y Y')_{\mathrm{red}}\to X$ sería un isomorfismo. Sea $x_0\in f^{-1}(y_0)$ entonces la preimagen de $x_0$ por este isomorfismo es $\{x_0\}\times \beta^{-1}(y_0)$ . Pero este último tiene dos puntos porque $y_0$ es un nodo. Contradicción.

3. Por (1), la preimagen por $X\times_Y Y'\to Y'$ de $\beta^{-1}(V)$ es irreducible e isomorfo a $f^{-1}(V)$ . Así que existe un único componente irreducible $X'$ en $X\times_Y Y'$ dominante $Y'$ . Es igual al cierre de Zariski de $f^{-1}(V)\times_V \beta^{-1}(V)$ en $X\times_Y Y'$ .

4. $X'$ es birracional a $X$ por (3).