Búsqueda de expansión de taylor para $\tanh(x)$

Question

Soy un estudiante de la escuela secundaria y estoy tratando de encontrar la expansión de taylor de $\tanh(x)$ en términos de una suma de la forma. He llegado hasta aquí, y soy consciente de que podría complicarse rápidamente. Si alguien podría ayudar en el acabado para mí (o mostrar una fuente (nota todavía soy sólo un estudiante senior de modo que si no se podía omitir cualquiera de los pasos).

Me dijo:

$$\tanh(x) = c(1) + c(2)x + c(3)x^2 + c(4)x^3 + ... c(n)x^{n-1}$$

$$\tanh(x)\cosh(x) = \sinh(x)$$

$$(c(1) + c(2)x + c(3)x^2 + c(4)x^3 + ... )(1 + ((x^2)/2!) + ((x^4)/4!) + ... ) = x + ((x^3)/3!) + ((x^5)/5!) + \ldots$$

a partir de ahí, tengo que,

$$\tanh(x) = c(1) + c(2)(x) + (c(3)+(c(1)/(2!))(x^2) + (c(4)+(c(2)/(4!))(x^3) + (c(5)+(c(1)/(4!)+c(3)/(2!))(x^4) + (c(6)+(c(2)/(4!)+c(4)/(2!))(x^5) + (c(7)+(c(1)/(6!)+c(3)/(4!)+(c(5)/(2!))(x^6) + ...$$

Como es obvio, hay una multitud de patrones, después de cada potencia de dos progresión de la $x$, existe una manera de lograr que el poder de $x$. (por ejemplo. en los 2 primeros términos de la expansión, solo hay 1 forma de lograr que el poder de $x$, en los próximos 2 términos, hay 2 maneras de lograr que el poder de $x$, aumentando en 1 cada 2 términos.

Podría nombrar infinidad de otros patrones obvios, aunque no creo que sea muy útil.

Estoy pensando que el triángulo de pascal, en la explicación de algún lugar sin embargo no estás seguro de dónde.

También no estoy seguro de lo que el Bernoulli serie que creo que es importante con el fin de encontrar la suma de la expresión, si alguien puede encontrar un resumen de expresión, que no utiliza los números de Bernoulli o está dispuesto a explicar esto a mí, que es muy generoso de su parte.

Por favor, mantenga a nivel de la escuela secundaria (y no importa si el final de la suma no es simplificado, siempre que, como es comprensible), si hay algo que necesita ser introducido (como los números de Bernoulli), voy a aprender de ti (tal vez proporcionar una fuente que explica esto en detalle, sería bueno).

Muchas gracias, voy a estar muy agradecido, usted no tiene idea de lo feliz que será una vez que finalmente lo consigo, no puedo dejar de pensar en él!

Answer 1

Directo de cálculo a partir de la definición de la serie de Taylor para $f(x)=\tanh x$ $x=0$ da $$ \tanh x=\color{blue}{x{x^3\más de 3}+{2x^5\más de 15}-{17x^7\más de 315}+\cdots}=\sum_{n=1}^\infty {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}\over (2n)!}, \quad |x|<{\pi\over 2}, $$ donde $B_{2n}$ se refiere a la $2n$th Bernoulli número que puede ser definido en una variedad de maneras. Sugiero leer acerca de ellos aquí y eligiendo lo que la definición es más accesibles a usted con el fin de generar en ellos.

La primera expresión en azul no es suficiente, especialmente para una escuela de alto nivel? O son ustedes que requieren una formulación general para el $n$th plazo como en el de la derecha de arriba? Porque si es así, usted se verá obligado a lidiar con los números de Bernoulli.