Para aclaraciones, a raíz de la cuestión, nos vamos a destacar algunas notaciones primera.
Deje $M_n$ ser la colección de $n\times n$ complejo valores de las matrices, vamos a $H_n$ ser la colección de $n\times n$ complejo de valores de Hermitian matrices, y dado $X,Y\in H_n$, denotan $X\ge 0\Leftrightarrow$ $X$ es positivo semidefinite, y $X\ge Y\Leftrightarrow X-Y\ge 0$. Dado $m,n$$X\in M_{mn}$, escribir $X=(X_{ij})_{n\times n}$ donde $X_{ij}\in M_m$. Definir
$${\rm tr}_1 (X)=\sum_{i=1}^n X_{ii}\in M_m,\quad {\rm tr}_2 (X)=({\rm tr}(X_{ij}))_{n\times n}\in M_n\tag{1}$$
y
$$\mathcal P(X)={\rm tr}_2(X)\otimes {\rm tr}_1(X)\in M_{mn}.\tag{2}$$
Tenga en cuenta que las definiciones de $(1)$ $(2)$ $X\in M_{mn}(X)$ no sólo dependen de los productos $mn$, sino que también dependen de $m$ $n$ a sí mismos. Ya que no hay mucha ambigüedad en el siguiente, por simplicidad, no vamos a especificar la dependencia de la $m,n$.
Reclamo: Dado $X\in H_{mn}$, $$X\ge 0\Rightarrow {\rm Im}(\mathcal P(X))\supset {\rm Im}(X).\tag{3}$$
La prueba se basa en los siguientes hechos. Ya que el argumento es muy largo, nos vamos a omitir la prueba de los hechos.
Hecho 1. Dado $X,Y\in H_n$ con $X,Y\ge 0$, $${\rm Im}(X)\supset {\rm Im}(Y)\iff {\rm Ker}(X)\subset {\rm Ker}(Y)\iff X\ge c Y \quad\text{for some} \quad c>0.\tag{4}$$
Hecho 2. Dado $A\in H_n$$B\in H_m$, $A\otimes B\in H_{mn}$ y
$$A\ge 0, B\ge 0 \Rightarrow A\otimes B\ge 0.\tag{5}$$
Hecho 3. Dado $X\in H_{mn}$,
$$X\ge 0 \Rightarrow {\rm tr}_1(X)\ge 0,\ {\rm tr}_2(X)\ge 0.\tag{6}$$
A partir de las definiciones $(1)$, $(2)$ y los hechos 2 y 3, tenemos
Hecho 4.
Dado $Y,Z\in H_n$ si $Y,Z\ge 0$,$X=Y+Z$,
$$\mathcal P(X)\ge \mathcal P(Y)+\mathcal P(Z).\tag{7}$$
Hecho 5.(caso especial de Sylvester ley de la inercia)
Si $X\in H_n$, $X\ge 0$ y $X$ rango $1\le r\le n$, entonces no existe $r$ cero vectores $v_1,\cdots,v_r\in\mathbb C^n$, de tal manera que
$${\rm Im}(X)={\rm span}(v_1,\dots,v_r),\text{ and } X=\sum_{i=1}^rv_iv_i^*.\tag{8}$$
Aquí $v_i$ se denota como vector columna y $v_i^*$ denota su conjugada transpuesta.
Prueba de Reclamación:
Escribir $X=\sum_{i=1}^rv_iv_i^*$$(8)$. Tenga en cuenta que $v_iv_i^*\ge 0$. A continuación, se aplican $(7)$ inductivamente podemos obtener que
$$\mathcal P(X)\ge\sum_{i=1}^r\mathcal P(v_iv_i^*).$$
Ahora supongamos que la afirmación es verdadera cuando el rango de $X$$1$. Bajo este supuesto, de $(4)$ sabemos que para cada $1\le i\le r$ existe $c_i>0$, de tal manera que
$$\mathcal P(v_iv_i^*)\ge c_i v_iv_i^*.$$
De ello se desprende que para $c:=\min_{1\le i\le r}c_i>0$,
$$\mathcal P(X)\ge c\sum_{i=1}^r v_iv_i^*=cX\Rightarrow {\rm Im}(\mathcal P(X))\supset {\rm Im}(X).$$
Por lo tanto, es suficiente para mostrar que la afirmación es verdadera cuando el rango de $X$$1$, es decir, $X=vv^*$ algunos $v\in\mathbb C^{mn}$.
Denotar $v=(w_1,\cdots,w_n)^t$ donde $w_1,\cdots,w_n\in\mathbb C^m$ $t$ significa que la transposición. Por definición,
$X=(w_iw_j^*)_{n\times n}$, por $(1)$,
$${\rm tr_1}(X)=\sum_{i=1}^nw_iw_i^*, \quad{\rm tr_2}(X)=(x_{ij})_{n\times n}, \text{ where } x_{ij}= w_j^*w_i.\tag{9}$$
Tenga en cuenta que por $(6)$, para $i=1,2$, ${\rm tr}_i(X)\ge 0$, y, por tanto, ${\rm Ker}({\rm tr}_i(X))$ e e ${\rm Im}({\rm tr}_i(X))$ son ortogonales uno al otro. Entonces es fácil ver que
$${\rm Ker}(\mathcal P(X))= {\rm Ker}({\rm tr_2}(X))\otimes\mathbb C^m + \mathbb C^n\otimes {\rm Ker}({\rm tr_1}(X)).\tag{10}$$
Por lo tanto, debido a $(4)$$(10)$, es suficiente para mostrar que para $u=u_2\otimes u_1\in \mathbb C^n\otimes\mathbb C^m$ si ${\rm tr}_i(X)u_i=0$ $i=1$ o $2$,$Xu=0$.
Denotar $u_2=(a_1,\dots,a_n)^t$. A continuación,$u=(a_1u_1,\dots, a_nu_1)^t$, y
$$Xu=\big((\sum_{j=1}^n a_jw_j^*u_1)w_1,\cdots,(\sum_{j=1}^n a_jw_j^*u_1)w_n\big)^t.\tag{11} $$
De $(9)$ sabemos que
- ${\rm Ker}({\rm tr}_1(X))$ es el complemento ortogonal de ${\rm span}(w_1,\dots,w_n)$, por lo que si ${\rm tr}_1(X)u_1=0$,$w_j^*u_1=0$$j=1,\dots,n$, y, por tanto,$(11)$$0$.
- ${\rm tr}_2(X)u_2=\big((\sum_{j=1}^n a_jw_j^*)w_1,\cdots,(\sum_{j=1}^n a_jw_j^*)w_n\big)^t$, por lo que si ${\rm tr}_2(X)u_2=0$, $(11)$ es $0$.
La prueba de reclamación se ha completado. $\quad\square$
