¿Por qué son $5$ y $6$ (y los números de acabar con estos respectivos últimos dígitos), el único (distinto de cero, no uno) números de tal manera que no importa qué (entero) el poder de elevar ellos, el último dígito se mantiene la misma? (por cierto, por favor, evitar la aritmética modular) Gracias!
Respuestas
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El problema que está resolviendo $x^2\equiv x\pmod{10}$, o $x(x-1)\equiv 0\pmod{10}$, lo que significa encontrar enteros de $x$ tales que $10$ es un factor de $x(x-1)$. Para que esto se mantenga, ya sea $x$ o $x-1$ debe ser un múltiplo de $5 dólares, lo que significa que el último dígito de $x$ es $0,1,5,$ o $6$. Entonces es una simple verificación de que la ecuación tiene en cada uno de estos casos.
Se reformula sin "$\pmod{10}$" notación, esto podría ser expresado de la siguiente manera. Estamos buscando enteros de $x$ tales que $x$ y $x^2$ tienen la misma último dígito. Esto es lo mismo que decir que el último dígito de $x^2-x=x(x-1)$ es $0$. Que significa que $x(x-1)$ es un múltiplo de $10 dólares. Consulte la sección anterior para el resto.
riza
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170
Aritmética Modular es la más conveniente y potente lenguaje para expresar la explicación, pero no es un low-tech versión. La deseada condición es equivalente a sólo $x$ y $x^2$ tener las mismas unidades dígito, que es equivalente a $10\mid (x^2-x)=x(x-1)$, lo que equivale a
$De$10\mid x(x-1)\implica \begin{casos}10\mid x \\ 2\mid x, ~ 5\mid (x-1) \\ 5\mid x,~2\mid(x-1) \\ 10\mid (x-1)\end{casos}\implica \rm unidades~dígito=\begin{casos}0 \\ 6 \\ 5 \\ 1\end{casos} $$
En base a $b$, un entero $x$ tiene las mismas unidades dígitos no importa lo que el poder de elevar a si y sólo si $x$ tiene las mismas unidades dígitos como $x^2$, o lo que es equivalente a $x^2\equiv x\bmod b$. Esto ocurre cuando $b\mid x(x-1)$. El conjunto de $x$ para que esto ocurre se puede caracterizar con precisión.
Para cada divisor $d\mid b$ tal que $\gcd(d,b/d)=1$, el conjunto de soluciones de $x$ para el sistema
$$\begin{casos} x\equiv 0 \bmod d \\ x\equiv 1\bmod b/d\end{casos}$$
satisfacer la condición deseada, y cada deseada de $x$ es alcanzado en esta forma. El uso de SZ aka CRT,
$$\{d\cdot\big(d^{-1}\bmod b/d\big)+bn:~d\mid b,\,\gcd(d,b/d)=1,n\in{\bf Z}\}$$
es el conjunto de todos los de $x$.t. $x,x^2,x^3,\cdots$ todos tienen el mismo dígito en unidades base $b$.
thorb65
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111
La mejor manera de ver por qué es llevar a cabo la multiplicación larga. Si queremos multiplicar números que terminan en seis (es decir, que son de tres dígitos, pero sin pérdida de generalidad) se sigue este patrón:
AB6
x CD6
-----
EFG6
HIJK
LMNO
=======
PQRSTU6
Los dos dígitos menos significativos son seis, y se multiplican a 36. Así, en el primer parcial del producto, se "escribe el 6, y llevar a las 3". Este 6 que escribamos produce el dígito de las unidades en el resultado final. Nada de los otros productos parciales se suman a esta 6 y así se conserva hasta el producto final. Sólo el primer producto parcial determina el dígito de las unidades. El siguiente producto parcial afecta sólo a las decenas y, el de después de las centenas y así sucesivamente. Esto es claro en el largo multiplicación por el diseño diagonal.
Y así todos (no-cero, positiva integral!) los poderes de 6 debe terminar en un 6. Esto es porque, en primer lugar, $6^1 = 6$ termina en 6, y todas las demás atribuciones que se forman a partir de que uno adicional multiplicaciones por 6, por lo que siempre están multiplicando en conjunto de los números terminados en 6, que sabemos que siempre conducen a productos terminados en 6.
Los poderes de 6 son, de hecho, sólo un pequeño subconjunto de los números que se forman por la multiplicación de dos factores que termina en 6. Por ejemplo, 16 no es una potencia de 6 y tampoco es de 26. Sin embargo, su producto, no es una potencia de 6 de 416.
Ahora, si queremos ser un poco más riguroso, y dejar atrás multiplicación larga, se puede hacer sin mucha dificultad. Permítanos reescribir nuestra misterio de un número representativo AB6 y CD6 de esta forma: $100A + 10B + 6$, y $100C + 10D + 6$. Ahora, ¿cuál es su producto? Es:
$$(100A + 10B + 6)(100C + 10D + 6)$$
Cuando multiplicamos estos juntos, siguiendo el método FOIL, es claro que el único número que no es divisible por 10 será el último término: $6\veces 6 = 36$:
$De$100 A\times 100C + 100 A\times 10D + 100 A\times 6 + 10B\times 100C + 10B\times 10D + 10B\times 6 + 6\times 100C + 6\times 10D + 6\times6$$
$$= 10000AC + 1000(AD + BC) + 100(6A + BD + 6C) + 10(6B + 6D) + 36$$
$$= 10(1000AC + 100(AD + BC) + 10(6A + BD + 6C) + 6B + 6D) + 36$$
I. e. es 10 veces algo más 36, que tiene que terminar en 6.
Mike
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1113
Una pequeña pieza que falta de las otras respuestas: una vez que usted sabe que $5\times5$ termina en un $5$ y que $6\6 veces$ termina en un $6$, entonces usted puede mostrar rápidamente va a ser el caso para el resto de los poderes. Por ejemplo, considere la posibilidad de $5^3$; a continuación, este es de $5\times(5^2)=5\times25=5\times(20+5)=(5\times20)+(5\times5)$. Desde $20$ termina en $0$ entonces multiplicando por cualquier cosa llevará a la otra el número que termina en $0$ (es decir, otro múltiplo de $10$), y ya hemos demostrado que $5\times5$ termina en $5$, por lo que la suma final de $0+5=5$. Del mismo modo, $5^4=5^3\times5=$somethingsomethingsomething$5\times5=($somethingsomethingsomething$0+5)\times5$, etc.
Una vez que hayas mostró que $5^n$ termina en $5$, entonces usted puede utilizar el resultado de $5\times5$ para demostrar que $5^{(n+1)}$ termina en $5$ y, a continuación, utilizar el principio de inducción matemática para demostrar que para todos los poderes de $5 dólares. El mismo método funciona para los poderes de $6 dólares, utilizando el hecho de que $6\times6$ termina en $6$.
azimut
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13457
Sólo como un agregado:
Una razón más profunda es que $5$ y $6$ se idempotents en el anillo de $\mathbb Z/10\mathbb Z$, lo que significa que tienen la propiedad $x^2 = x$.
Por el teorema del resto Chino, $\mathbb Z/10\mathbb Z \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/5\mathbb Z$. En la última representación, no es difícil ver que el idempotents están dadas por $(0,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$ y $(1,0)$. Su preimages en $\mathbb Z/10\mathbb Z$ son $0$, $1$, $6$ y $5$, respectivamente.
En otras palabras: En $\mathbb Z/10\mathbb Z$, $5$ es la unidad de los elementos de la sub-anillo $\{0,5\}\cong \mathbb Z/2\mathbb Z$ y $6$ es la unidad de los elementos de la sub-anillo $\{0,2,4,6,8\} \cong \mathbb Z/5\mathbb Z$ de $\mathbb Z/10\mathbb Z$.
