Definición de Jacobson radical

Question

Esto puede ser una pregunta bastante tonta, pero me pregunto por qué la definición de la Jacobson radical siempre es $$\{x\in R\mid 1-xy \text{ is a unit for all } y\in R\}$$ y no $$\{x\in R\mid 1+xy \text{ is a unit for all } y\in R\}$$

Claramente, si $y\in R$ lo es $-y$ y podemos así escribir $1+xy$. Así que, ¿por qué seguimos con el signo menos en lugar de un plus?

Answer 1

Si creemos que el primer grupo es un subgrupo aditivo de $R$, son la igualdad de conjuntos.

Si $x$ es en el primer set, a continuación, $-x$ también está en el conjunto, y, por tanto, $x$ es en el segundo set. Si $x$ es en el segundo set, a continuación, $-x$ es en el primer set, y, en consecuencia, $x$ es en el primer set. Esto demuestra la igualdad entre los dos conjuntos.

Por supuesto, si usted prefiere tomar sólo el segundo set a ser un subgrupo aditivo de $R$, un argumento similar obras.

No hay ninguna razón para preferir uno sobre el otro, AFAIK, y además estoy bastante seguro de que he visto la $1+xy$ definición que se utiliza en un texto o dos.

Answer 2

Voy a restringir a conmutativa $R$ aquí. La definición correcta de la Jacobson radical de $R$ es como la intersección de todos los máximos ideales (lo que usted ha dicho, debe ser visto como una descripción). A continuación, la descripción con $1-xy$ se produce de forma natural:

$x \notin \mathrm{jac}(R)$ fib $x \in (R/\mathfrak{m})^*$ para un ideal maximal $\mathfrak{m}$ fib $xy=1 \bmod \mathfrak{m}$ para un ideal maximal $\mathfrak{m}$ y algunos $y \in R$ fib $1-xy \notin R^*$ algunos $y \in R$.

Creo que esta es la razón por la $1-xy$ es preferido en la literatura.

Answer 3

La siguiente muestra que, no sólo es la segunda forma equivalente, pero también es mucho más natural para algunos propósitos. Las equivalencias a continuación arrojar más luz sobre el radical.

Teorema $\ $ TFAE en el anillo de $\rm\:R\:$ unidades $\rm\:U,\:$ ideal $\rm\:J,\:$ y Jacobson radical $\rm\:Jac(R)\:.$

$\rm(1)\quad J \subseteq Jac(R),\quad $ es decir $\rm\:J\:$ se encuentra en cada máx ideal $\rm\:M\:$ $\rm\:R\:.$

$\rm(2)\quad 1+J \subseteq U,\quad\ \ $ es decir $\rm\: 1 + j\:$ es una unidad para cada $\rm\: j \in J\:.$

$\rm(3)\quad I\neq 1\ \Rightarrow\ I+J \neq 1,\qquad\ $ es decir, adecuada a los ideales de sobrevivir en $\rm\:R/J\:.$

$\rm(4)\quad M\:$ max $\rm\:\Rightarrow\: M+J \ne 1,\quad\! $ es decir, max ideales sobrevivir en $\rm\:R/J\:.$

Prueba de $\: $ (boceto) $\ $ $\rm\:i \in I,\ j \in J,\:$ y max ideal $\rm\:M,$

$\rm(1\Rightarrow 2)\quad j \in all\ M\ \Rightarrow\ 1+j \in no\ M\ \Rightarrow\ 1+j\:$ de la unidad.

$\rm(2\Rightarrow 3)\quad i+j \,=\, 1\ \Rightarrow\ 1-j = i\:$ unidad $\rm\:\Rightarrow\: I = 1\:.$

$\rm(3\Rightarrow 4)\ \ \ $ Deje $\rm\:I = M\:$ max.

$\rm(4\Rightarrow 1)\quad M+J \ne 1 \Rightarrow\ J \subseteq M\:$ $\rm\:M\:$ max.

Answer 4

De hecho, la definición habitual de la Jacobson radical es la intersección de todas las máximas de la izquierda ideales. Esta resulta ser la intersección de todos los maximal derecho ideales. Usted puede buscar en el P. M. Cohn: Introducción al Anillo de la Teoría o R. Ash: Álgebra Abstracta.