Es la suma de los recíprocos de todos los productos de $2$ a $n-1$ siempre $0.5n-1$ ?

Question

Estaba buscando acertijos para trabajar en mis clases de matemáticas para el fin de año y encontré el siguiente acertijo. http://mathriddles.williams.edu/?p=129

Seguí el consejo y empecé a trabajar con ejemplos de números pequeños y me topé con un patrón que quería generalizar.

$$\frac{1}{2}(1)=0.5$$ $$\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}\right)=0.5$$ $$\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2\cdot 3}\right)=0.5$$ $$\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}\right)=0.5$$ $$\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\right)=0.5$$

Si mi patrón no tiene sentido, estoy tomando $\frac{1}{n}$ y multiplicándolo por la suma de los recíprocos de todos los productos únicos para $2$ a $n-1$ y sale 0,5 cada vez hasta $n=7$ (No he probado valores superiores). Equivalentemente, si se multiplican ambos lados por $n$ y luego restar $1$ se ve que todos los recíprocos suman $0.5n-1$ .

No sé por dónde empezar con la generalización de este patrón, ya que nunca he visto fórmulas explícitas para tales sumas, así que quería ver si alguien sabe si este es el caso para todos $n$ y cómo se puede probar o refutar.

Answer 1

Si lo consideras como $\frac{1}{n}(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\dots (1+\frac{1}{n-1})$ se telescopia muy bien.

Answer 2

Con una notación más sistemática, su observación es que $$ f(n) = \sum_{A\subseteq\{2,3,\ldots,n-1\}}\;\prod_{k\in A} \frac1k = \frac12n $$ (No veo de dónde sacas " $0.5n -1$ " fuera de él; restando $1$ no parece coincidir con nada de tus ejemplos).

Esto es válido para todos los $n\ge 2$ y podemos demostrarlo por inducción matemática sobre $n$ :

Cuando pasamos de $f(n)$ a $f(n+1)$ La diferencia es que ahora tenemos más $A$ s para sumar es decir, tenemos todos los que tenemos antes, más todos los subconjuntos que contienen $n$ . Pero cada uno de los nuevo subconjuntos surge como uno de los antiguo subconjuntos con $n$ anexado, por lo que podemos escribirlo como $$ \begin{align} f(n+1) &= \sum_{A\subseteq\{2,3,\ldots,n-1\}}\; \prod_{k\in A} \frac1k + \sum_{A\subseteq\{2,3,\ldots,n-1\}}\;\frac1n \prod_{k\in A} \frac1k \\ &= f(n) + \frac1n f(n) \\& = \frac{n+1}{n} f(n) \\& = \frac{n+1}{n} \frac12 n \\& = \dfrac12 (n+1) \end{align} $$ que es lo que se necesita para el paso de inducción.

Answer 3

Dejemos que $s_n$ sea la suma de $1$ y las fracciones para el $n$ caso, por ejemplo $$s_4 = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2\cdot3}$$

Supongamos que $s_k = k/2$ es cierto para algunos $k$ .

Para el $n=k+1$ caso, $$s_{k+1} = s_k\cdot \left(1+\frac1k\right) = s_n\cdot\frac{k+1}{k} = \frac{k+1}{2}$$

Para el $n=2$ caso, $$s_2 = 1 = \frac{2}{2}$$

Por inducción, $s_n = n/2$ es cierto para los números naturales $n\ge 2$ . es decir $$\frac{1}{n}s_n = \frac12$$

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Algún ejemplo de la recursión $s_{k+1} = s_k\cdot\left(1+\frac1k\right) $ :

$$\begin{align*} s_4 &= 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2\cdot3}\\ &= \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{2}\right)\\ s_5 &= 1 + \frac12+\frac13+\frac1{2\cdot3}+\frac14+\frac1{2\cdot4} +\frac1{3\cdot4} + \frac{1}{2\cdot3\cdot4}\\ &= \left(1 + \frac12+\frac13+\frac1{2\cdot3}\right) + \frac14\left(1 + \frac12+\frac13+\frac1{2\cdot3}\right) \end{align*}$$