Es esta la solución a un problema en cuanto a la ecuación de $a^2=(m^yn^x)^z$ donde $m=a^x$ $n=a^y$correcto?

Question

Si $m=a^x, n=a^y$ $a^2=(m^yn^x)^z$

Mostrar que $xyz = 1$

Tengo el problema en mi libro de texto (que no proporciona una respuesta).

Este es mi intento de solución:

\begin{align*} (a^xa^y)^z&=a^2\\ a^{x+y}&=a^2\\ (a^2)^z&=a^2 \Rightarrow z=1, xyz=1 \cdot 1\cdot 1 \end{align*}

Es esta la solución correcta?

Answer 1

Por desgracia, eso no es correcto. El primer paso en la sustitución de $m$ $n$ debe darle $$a^2=(a^{xy}a^{xy})^z$$The right hand side is equivalent to $a^{2xyz}$. Therefore, $2=2xyz$ y el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

La expresión para $a^2$ sería

$$a^2=((a^x)^y(a^y)^x)^z=(a^{2xy})^z=a^{2xyz}$$

Y, suponiendo que $a$ es positivo y no es $1$, $$2=2xyz$$

Answer 3

El enfoque correcto es el siguiente:

$$m^y = a^{xy}$$ $$n^x = a^{xy}$$

Por lo tanto, $$a^2 = \left(m^y n^x\right)^z = \left(a^{xy} a^{xy}\right)^z = \left(a^{2xy}\right)^z = a^{2xyz}.$$

En consecuencia, $$2 = 2xyz$$ lo que implica que $$xyz = 1.$$

Answer 4

Como ya se ha dicho en las respuestas anteriores que la solución de las necesidades de un poco de una corrección.

Alternativamente, también puede probar esto de la siguiente manera:

$m^y=a^{xy}$ $n^x=a^{xy}$

Por lo tanto, $a^2=(m^yn^x)z=(a^{xy}a^{xy})^z=(a^{2xy})^z=a^{2xyz}$

Ahora, $a^2=a^{2xy}$.

Tomando logaritmo a la base de $a$ en ambos lados, obtenemos,

$2log_{a}a=(2xyz)log_{a}a$ $\Longrightarrow$$2xyz=2$$\Longrightarrow$$xyz=1$