Me gustaría estudiar y a comprender la (completa) clasificación de los compactos mentira grupos. Sé que hay un montón de libros sobre este tema, pero me gustaría saber ¿cuál es el mejor camino que puede seguir (en su opinión, obviamente), ya que hay un montón de diferentes ideas.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, he aquí un esbozo de cómo la clasificación de las obras:
Probar que si G y H son simplemente conectados y tienen la misma Mentira de álgebra, entonces G y H son isomorfos como la Mentira de los grupos.
Probar que si G es cualquier Mentira de su grupo, la universalización de la cobertura de $\tilde{G}$ hereda natural de la Mentira de la estructura del grupo para el cual G = $\tilde{G}/Z$ donde $Z\subseteq Z(\tilde{G})$.
Esto reduce clasificación a) la comprensión de las álgebras de Lie y b) la comprensión de los centros de simplemente conectado Mentira grupos.
3. Clasificar (simple) de álgebras de Lie. Esto se hace a través de la raíz de gráficos (diagramas de Dynkin).
4. Para cada uno simplemente se conecta compacto de Lie del grupo, calcular su centro.
Para referencias, me gustaría comprobar fuera de Fulton y Harris libro "Teoría de la Representación". No estoy seguro de si en realidad tiene 4., pero eso es bastante fácil hacer ejercicio después (a excepción quizás de los grupos excepcionales).
Jeffrey Adams
Puntos
814
Hay una clara, auto-contenida clasificación de los compactos, conectado Mentira grupos de "Mentira Grupos: Un Enfoque a través de Invariantes y Representaciones", por Claudio Procesi. Consulte el Capítulo 10, Sección 7.2, Teorema 4, página 380. Se dice que un grupo es de la forma $K_1\times\dots\times K_n\times T/Z$ donde cada $K_i$ está conectado, compacto, y simplemente conexa, $T=(S^1)^m$ es un compacto de toro, y $Z$ es un subgrupo finito de el centro de la satisfacción de $Z\cap T=1$. Además, dos de estos grupos $K_1\times\dots\times T/Z$ y $K'_1\times\dots\times T'/Z'$ son isomorfos si y sólo si existe un isomorfismo $K_1\times\dots\times T\rightarrow K'_1\times\dots\times T'$ tomar $Z$ a $Z$. Tenga en cuenta que el numerador es especificado por una lista de tipos de $A_n,B_n,\dots, E_8$ y el entero $m$. El resultado se obtiene a partir de un bijection entre los compactos conectado y reductora algebraica de los grupos, y es equivalente a la clasificación de la raíz de los datos.
Por ejemplo, hay precisamente $3$ compactos grupos de rango 2 y semisimple rango 1:
$SU(2)\times S^1$ ($Z=1$)
$SO(3)\times S^1$ ($Z=\langle -I,1\rangle$)
$U(2)=SU(2)\times S^1/\langle (-I,-1)\rangle$.
Para otro ejemplo, las siguientes dos grupos no isomorfos, donde $\zeta=e^{2\pi i/5}$:
$SU(5)\times S^1/\langle(\zeta I, \zeta)\rangle \simeq U(5)$
$SU(5)\times S^1/\langle(\zeta I,\zeta^2)\rangle$
Jon Galloway
Puntos
320
No sé si es apropiado vincular a la auto-publicidad aquí. Así que a riesgo de un menor paso en falso, mi editada notas de la Mentira de los Grupos de clase impartida por el Prof. Marca Haiman están disponibles aquí. La mayor parte de las notas es la clasificación de los complejos de Lie semisimple grupos. Para compactas, siga el mismo argumento, pero agregar un hecho: un simple grupo de más de R es compacto si el Asesinato formulario es negativa definida.
En caso de que uno no se debe publicar las propias notas, aquí están algunos por Anton desde el año anterior. Estos incluyen un poco más en formas reales, y un poco menos en la no-semisimple grupos.
Mike Schall
Puntos
2921
Las respuestas dadas son útiles. Naturalmente un poco de cuidado ha de tenerse siempre con la conexión pregunta, ya que el grupos finitos puede ser considerado como compacto Mentira grupos o como algebraica de los grupos. A continuación, una clasificación completa se convierte en irrazonable. Por otro lado, algunos grupos compactos o algebraicas grupos ocurren naturalmente como desconectado grupos con un interesante grupo de componentes.
Rodrick Chapman
Puntos
2981
Compacto Mentira grupos no puede ser conectado, y la pregunta no asumir la conectividad, mientras que todas las otras respuestas hizo. Si $G$ es un algebraicas lineales grupo de más de $\mathbf{R}$, entonces $G(\mathbf{R})$ ha finito grupo de componentes que pueden ser no trivial, incluso cuando $G$ es conectado en el sentido de la topología de Zariski, tales como $G = {\rm{GL}} _n$; véase el final de Borel el libro sobre algebraicas lineales grupos para una prueba. Y ortogonal grupos para no degenerada real cuadráticas formas de diversas firmas son muy útiles, pero (en su encarnación como algebraicas lineales grupos de más de $\mathbf{R}$), son aún desconectado de la topología de Zariski. Así que hay una buena razón para estar interesado en la verdadera Mentira de los grupos con los que no son triviales, pero finito de componentes del grupo (por ejemplo, grupos finitos!) Y en Hochschild del libro "la Estructura de la Mentira Grupos" demuestra que la teoría de la máxima compacto subgrupos de "obras" en el caso de finito de componentes de otros grupos: todo está conjugado y cumplir con cada uno de los componentes.
Esta es toda la configuración de lo que yo realmente quería decir, que es que no es un resultado impresionante, en gran parte debido a Chevalley, que bonito "explica" la esencia algebraica de la naturaleza de la categoría de los compactos Mentira grupos (sin conexión hipótesis). Esto se refiere a la functor $G \rightsquigarrow G(\mathbf{R})$ desde algebraicas lineales grupos de más de $\mathbf{R}$ a real Mentira grupos con finito de componentes del grupo. Para apreciar el resultado, tenemos algunas observaciones preliminares, de la siguiente manera. Si $G(\mathbf{R})$ es para ser compacto, entonces, por supuesto, de $G$ no puede contener como $\mathbf{R}$-subgrupo de $\mathbf{G}_a$ o $\mathbf{G}_m$. En particular, $G$ tiene que ser reductiva (tal vez desconectado) desde $\mathbf{R}$ tiene características de 0. [Nota: para reductiva grupos sobre cualquier campo de la $k$ que sea, si hay un $\mathbf{G}_a$ como $k$-subgrupo entonces no debe ser un $\mathbf{G}_m$ como $k$-subgrupo; es decir, es de $k$-isotrópico. Ver Corolario C. 2.9 en "Pseudo-reductora grupos" para una generalización.] Es un hecho general (a través de cualquier campo local $k$ en todo, ya sea de arquímedes o no) que una versión reducida de $k$-grupo grupo compacto de $k$-puntos si y sólo si no contiene $\mathbf{G}_m$ como $k$-subgrupo (es decir, es de $k$-anisotrópico). También, si $G$ es desconectado, a continuación, puede suceder que algunos de los componentes conectados de $G$ no $\mathbf{R}$-punto (por ejemplo, el núcleo de ${\rm{det}}^3$ en ${\rm{GL}} _n$ para $n$), pero la unión de los componentes que contienen un $\mathbf{R}$es un abra $\mathbf{R}$subgrupo que es "todo" que se podía esperar a que se recuperen de $G(\mathbf{R})$. Así que bien podemos centrar la atención en los $G$ para que cada componente conectado de $G$ tiene $\mathbf{R}$.
OK, así que ahora podemos afirmar Chevalley del resultado. Las observaciones anteriores muestran que la formación de puntos reales (como una Mentira grupo) es un functor de la categoría de $\mathbf{R}$-anisotrópico reductivo $\mathbf{R}$-grupos a la categoría de compactos real Mentira grupos. (Cuidado no es obvio si $G(\mathbf{R})$ es también conectado por un $G$ que está conectado.) Chevalley demostrado que esta es una equivalencia de categorías. Más concretamente, dado un compacto real Mentira grupo $K$, mostró cómo el uso de la teoría de la representación de $K$ a functorially construir un algebraicas lineales $\mathbf{R}$grupo $K^{\rm{alg}}$, cuya Mentira grupo de $\mathbf{R}$-puntos es naturalmente isomorfo a $K$ (por lo que $K^{\rm{alg}}$ debe ser reductiva y $\mathbf{R}$-anisotrópico, por las razones mencionadas anteriormente). La construcción muestra también que cada componente conectado de $K^{\rm{alg}}$ $\mathbf{R}$-punto, y claramente $K^{\rm{alg}}$ está conectado si $K$ es conectado. Eso está demostrado en el libro de Brocker y tom Dieck. El uso de algunos aportes de la algebraicas lado (especialmente el hecho de que un semisimple Mentira subalgebra de la Mentira algebra de un algebraicas lineales grupo sobre un campo $k$ de característica 0 es el álgebra de la Mentira de un único conectado cerrado $k$-subgrupo que además es semisimple, entonces más de $\mathbf{R}$ estos "exponentiate" cerrado $\mathbf{R}$-subgrupos), uno puede mostrar que realmente se invierte el functor de $\mathbf{R}$puntos sobre el total de la subcategoría de $\mathbf{R}$-anisotrópico reductivo $\mathbf{R}$-grupos cuyos componentes conectados todos tenemos $\mathbf{R}$-puntos.
Para resumir, la incorporación de aspectos topológicos:
Teorema (Chevalley) La categoría de los compactos Mentira grupos es equivalente a la categoría de $\mathbf{R}$-anisotrópico reductivo $\mathbf{R}$-grupos cuyos componentes conectados tenemos $\mathbf{R}$-puntos, y si $G$ es un $\mathbf{R}$grupo $G^0(\mathbf{R}) = G(\mathbf{R})^0$. El $\mathbf{R}$grupo $G$ es semisimple si y sólo si $G(\mathbf{R})$ ha finito centro, y en tales casos $G^0$ simplemente se conecta en el sentido algebraico de grupos si y sólo si $G(\mathbf{R})^0$ simplemente se conecta en el sentido de la topología.
Observación: El anisotropicity hipótesis es crucial. Por ejemplo, si $n > 1$ es impar entonces ${\rm{SL}} _n \rightarrow {\rm{PGL}} _n$ es un grado-$n$ isogeny de $\mathbf{R}$-grupos (de modo que no es un isomorfismo) que induce un isomorfismo en $\mathbf{R}$-puntos.
Para cualquier $G$ como en el Teorema, se puede demostrar que $G(\mathbf{C})$ $G(\mathbf{R})$ como máximo compacto subgrupo, y que este es un "complejización" de $G(\mathbf{R})$ en el sentido de ser inicial entre el complejo de Mentira grupos equipado con un homomorphism de $G(\mathbf{R})$. El uso de este y pasando a los conectados caso, una muestra que por cada $\mathbf{R}$-split conectado reductivo $\mathbf{R}$-grupo admite un único "$\mathbf{R}$-anisotrópico de la forma" (conocida generalmente como "forma compacta"), y esta correspondencia es también functorial si seguimos la pista de una elección adecuada de la máxima toro. Pero la teoría algebraica proporciona una equivalencia entre la categoría de pares $(G,T)$ consistng de split conectado reductora grupos $G$ equipado con una opción de dividir la máxima toro $T$ sobre cualquier campo, con isogenies como morfismos, y la categoría de los datos de raíz con una adecuada noción de) "isogenies" como morfismos. Este se recupera exactamente la clasificación de los compactos conectado Mentira grupos (equipada con un máximo de toro) en términos de la raíz de los datos como se mencionó en las otras respuestas.
Por supuesto, esta es una ruta más larga para el remate, y yo no soy de los que lo recomiendan como una buena manera de aprender la clasificación de los compactos Mentira grupos en cuanto a la raíz de los datos (aunque no sería circular para hacerlo). Pero hay algo notable acerca de la relación directa entre compacta Mentira grupos y algebraica de los grupos (permitiendo la desconexión así, y no se especifica la máxima toro), no se define por ir a través de la muleta de datos de raíz y álgebras de Lie. Históricamente el caso de grupos compactos que era muy importante guía para Borel y las Tetas y los demás en el desarrollo de la teoría de la estructura para la conexión de la reductora grupos, y el resultado anterior ", explica" a posteriori por qué este caso fue una excelente guía para el caso general.
