¿Cómo puede un finito gráfico de ser visto como una discreta analógica de una superficie de Riemann?

Question

En el papel "de Riemann–Roch y Abel–Jacobi teoría en un número finito de gráfico" por Baker y Norine, la primera línea del resumen se indica: "es bien sabido que un número finito de gráfico puede verse, en muchos aspectos, como una discreta analógica de una superficie de Riemann". Tal vez este hecho es bien conocido, pero no para mí. Tampoco puedo encontrar cualquier material en línea que explica este concepto en detalle. Si alguien puede que me señale en la dirección correcta sería muy apreciada. Estoy interesado en cómo una arbitraria finito gráfico puede verse como una discreta superficie de Riemann, no un gráfico que simplemente es el resultado de una triangulación.

Answer 1

Lo que están diciendo es cierto: Un grafo conexo puede ser considerado como un espacio métrico (cuando está equipado con el gráfico de la métrica) y como tal, puede ser utilizado para la aproximación de la geometría de superficies de Riemann (es decir, hiperbólico) así como de las dimensiones superiores de Riemann colectores. Cuando se hace correctamente, se puede derivar algunas conclusiones sobre, por ejemplo, las propiedades espectrales de los colectores de las propiedades espectrales de la aproximación de los gráficos. Echa un vistazo por ejemplo en este papel por Brooks y Makover para algunas construcciones y referencias. Uno de los más famosos de las interacciones de la teoría de grafos y teoría de las curvas algebraicas ( $\bar Q$ ) es a través de Belyi del teorema y "dessins d'enfants".

Edit: Dos más conexiones entre los gráficos y las superficies de Riemann: (1) Tropical curvas algebraicas son los gráficos (equipada con algo más de estructura), (2) de la cinta de gráficos puede ser utilizado para describir las superficies de Riemann equipados con determinados holomorphic cuadrática diferenciales. Esto es especialmente útil cuando el análisis de la topología de compactified módulos de espacios de superficies de Riemann, consulte los enlaces n-Laboratorio de artículo para las referencias.