Resolver un sistema lineal con más variables que ecuaciones

Question

Supongamos que, después de una serie de operaciones elementales con sus filas la matriz aumentada de un sistema lineal con variables $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ se transforma en una reducción escalonada de la siguiente manera:

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\0 & 0 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right)$$.

Puedo resolver el sistema lineal como se muestra abajo?

Deje $t$ ser cualquier número real. A continuación, la solución de cada ecuación lineal correspondiente a la matriz ampliada para las principales variables y establecimiento $x_4=t$, obtenemos $x_1=-t, x_2=1-2t$, e $x_3=-3t$. Por lo tanto la solución general del sistema lineal es

\begin{align} x_1=-t\\ x_2=1-2t\\ x_3=-3t\\ \end{align}

donde t es un número real arbitrario.

Answer 1

tienes ya la respuesta. dispone de 3 ecuaciones y 4 variables y una infinidad de soluciones.

Answer 2

Lo que han hecho es una de descomposición. Dado un underconstrained sistema de $A x =b$, se pueden dividir las variables dependientes e independientes de los componentes que

$$ x = T x_{dep} + U x_{ind} $$

en tu ejemplo

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_4 \end{pmatrix} $$

Ahora se puede reducir el sistema con

$$ \begin{aligned} A T x_{dep} + A U x_{ind} & = b \\ A T x_{dep} & = b - A U x_{ind} \\ x_{dep} &= (A T)^{-1} \left(b - A U x_{ind}\right) \end{aligned} $$

Los valores finales son

$$ x = T (T)^{-1} b + \left({\bf 1_{4×4}} - T (T)^{-1}\right) U x_{dep} \\ x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0&0&-1 \\0&0&0&-2 \\ 0&0&0&-3 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_4 \end{pmatrix} $$ $$ x = \begin{pmatrix} -x_4 \\ 1-2 x_4 \\ -3 x_4 \\ x_4 \end{pmatrix} $$