¿Por qué la longitud de arco no está en la fórmula del volumen de un sólido de revolución?

Question

Me cuesta entender la diferencia entre calcular el volumen de un sólido de revolución, y el superficie de un sólido de revolución.

Al calcular el volumen Para la integración de discos, me han enseñado a razonar de la siguiente manera: dividir el sólido en varios cilindros de anchura infinitesimal $dx$ . Entonces cada uno de estos cilindros tiene un radio $f(x)$ por lo que su volumen es $\pi\cdot f(x)^2~dx$ . Por lo tanto, el volumen total del sólido de revolución es $V=\pi\int_a^b f(x)^2~dx$ .

Por lo tanto, al calcular el superficie Me imagino que debería poder razonar así: como antes, dividir el sólido en varios cilindros, excepto que ahora se calcula el área de cada uno en lugar de su volumen. Esto debería dar como resultado $A=2\pi\int_a^bf(x)~dx$ . Sin embargo, esta es la respuesta incorrecta. Para obtener la fórmula adecuada, tengo que sustituir $dx$ con el longitud del arco que es $\sqrt{1+f'(x)^2}~dx$ .

Mi pregunta es: por qué ¿es este el caso? No es necesario utilizar la longitud de arco al calcular el volumen, así que ¿por qué aparece al calcular el área?

Answer 1

Una forma de intuirlo es observar lo que ocurre en dos dimensiones. En este caso, en lugar de la superficie y el volumen, nos fijamos en la longitud del arco y el área bajo la curva. Cuando queremos encontrar el área bajo la curva, estimamos utilizando rectángulos. Esto es suficiente para obtener el área en un límite; una forma de ver por qué esto es así es que tanto el error como la estimación son bidimensionales, y así no estamos perdiendo ninguna información extra.

Sin embargo, la aproximación análoga a la longitud de arco es obviamente mala: equivaldría a aproximar la curva por una secuencia de pasos constantes (es decir, la parte superior de los rectángulos en una suma de Riemann) y la longitud de esta aproximación es siempre sólo la longitud del dominio. Esencialmente, estamos utilizando una aproximación unidimensional (es decir, que sólo depende de $x$ ) para un objeto bidimensional (la curva), y por tanto nuestra aproximación no tiene en cuenta la longitud extra procedente de la otra dimensión. Por ello, la longitud de arco se calcula utilizando una aproximación poligonal por secantes a la curva; esta aproximación incorpora tanto el cambio en $x$ y el cambio en $y$ .

¿Por qué es esto relevante para los sólidos de revolución? Bueno, en esencia, las fórmulas de volumen y superficie se obtienen simplemente girando la correspondiente aproximación bidimensional girada alrededor de un eje, y tomando un límite. Si no funciona en 2 dimensiones, ciertamente no funcionará en 3 dimensiones.

Answer 2

Considera un cono. Es un segmento de línea rotado $f(y)=\dfrac{r}{h}y$ (dejándolo sin base). Sabemos que su volumen (si tuviera una base) será $\dfrac{\pi}{3}r^2h$ y su superficie (sin la base) será $\pi r\ell$ .

Para encontrar el volumen, tomamos la integral de la función de las áreas de los círculos concéntricos. Esencialmente, esto es como dividir el cono en pequeños cuasicírculos, y luego tomar el límite a medida que se vuelven infinitesimales.

Mirando a uno finito de estos, el volumen es $\pi R^2\,\mathrm dy$ . Obsérvese que si hay $n$ de estas rebanadas, $n\,\mathrm dy$ será $h$ la altura del cono, como es de esperar.

No tenemos ningún problema en integrar $\displaystyle\int_0^h\pi\left(\frac{r}{h}y\right)^2\,\mathrm dy$ para conseguir $\dfrac{\pi}{3}r^2h$ y no tenemos que hacer la longitud del arco.

Ahora el problema viene cuando intentamos encontrar la superficie del cono con la integración. Lo que estabas haciendo era tomar la integral de la función de las circunferencias de los círculos concéntricos. Esto parece análogo al área de las circunferencias de la vez anterior, pero no lo es.

Tienes que darte cuenta de que, al igual que la vez anterior, estamos viendo esa porción de cono, pero esta vez estamos sumando la superficie. Es un rectángulo aproximado, por lo que el área es $2\pi R\,\mathrm dy$ . Es como lo que estabas haciendo.

El problema surge cuando se ve que con $n$ rebanadas, $n\,\mathrm dy$ debe ser igual a la altura de la inclinación $\ell$ , no la altura $h$ como la última vez. La altura de la inclinación es sólo la longitud de arco del segmento de línea. $\mathrm dy=\dfrac{\sqrt{1+f'(y)^2}}{n}$ en lugar de $\dfrac{1}{n}$ la última vez.

Así que sólo hay que tomar la integral $\displaystyle\int_0^h2\pi\frac{r}{h}y\,\mathrm dy$ y se sustituye $\mathrm dy$ con $\sqrt{1+f'(y)^2}\,\mathrm dy$ . Luego se integra $\displaystyle\int_0^h2\pi\frac{r}{h}y\sqrt{1+\left(\frac{r}{h}\right)^2}\,\mathrm dy$ y obtener $\pi r\sqrt{h^2+r^2}$ la respuesta correcta.

Esencialmente, esa porción del cono no es un cilindro. Puedes fingir que lo es al integrar para el volumen, ya que la forma del exterior no te importa entonces, pero no puedes ignorarlo para la superficie.

Answer 3

La razón es que la anchura del "cilindro" es sensible tanto a los cambios en $x$ y en $y$ . El cilindro está "inclinado": se parece más a una rebanada de un cono en la dirección perpendicular al eje de rotación que a una rebanada de un cilindro.

Consideremos, por ejemplo, una curva que oscila muy rápidamente entre dos valores pequeños. Su método no funciona porque no tiene en cuenta ninguna de las superficies que están (casi) todas en la dirección vertical.

Al calcular un volumen, todo esto se vuelve insignificante con respecto al volumen del cilindro.