$\int_0^{2\pi} \sqrt{1-\cos(x)}\,dx = 4\sqrt{2}$. Por qué?

Question

De acuerdo con el libro de texto, y Wolfram Alpha lo anterior es correcto.

Aquí está el paso a paso el procedimiento de Wolfram Alpha para la evaluación de la integral indefinida:

Tomar la integral: $$\int\sqrt{1-\cos(x)}\,dx$$ For the integrand $\sqrt{1-\cos(x)}$, substitute $u=1-\cos(x)$ and $du=\sin(x)\,dx$: $$=\int-\frac{1}{\sqrt{2-u}}\,du$$ Factor out constants: $$=-\int\frac{1}{\sqrt{2-u}}\,du$$ For the integrand $1/\sqrt{2-u}$, substitute $s=2-u$ and $ds=-du$: $$=\int\frac{1}{\sqrt{s}}\,ds$$ The integral of $1/\sqrt{s}$ is $2\sqrt{s}$: $$=2\sqrt{s}+\text{constant}$$ Substitute back for $s=2-u$: $$=2\sqrt{2-u}+\text{constant}$$ Substitute back for $u=1-\cos(x)$: $$=2\sqrt{\cos(x)+1}+\text{constant}$$ Which is equivalent for restricted $x$ values to: $$\boxed{=-2\sqrt{1-\cos(x)}\cot\big(\frac{x}{2}\big)+\text{constant}}$$

Entiendo arriba a la de abajo (que es una solución válida para la integral): $$2\sqrt{\cos(x)+1}+\text{constant}$$

Sin embargo, si se evalúa esta en$2\pi$$0$, se obtiene la misma cosa, de modo que la integral definida se evalúa a cero.

Después de transformar el anterior: $$-2\sqrt{1-\cos(x)}\cot\big(\frac{x}{2}\big)+\text{constant}$$

La expresión es indeterminado en $2\pi$ $0$ de la forma $0 \times \infty$. Así que supongo que se iba a establecer un límite y, a continuación, utilizar la regla de L'Hospital de evaluar la expresión en $2\pi$ $0$ y obtener la respuesta a la integral definida?

En cualquier caso, todo esto parece extraño. ¿Por qué la integral definida evaluado una forma de dar a $0$, y en otra manera de dar algo a los demás?

Answer 1

$$ \int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx=\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}\,dx =\sqrt{2}\int_0^{2\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx=-2\sqrt{2}\cos\frac{x}{2}\Big|_0^{2\pi}=4\sqrt{2}. $$

Answer 2

Su $u$-sustituciones deben ser inyectiva en su intervalo de evaluación. De lo contrario, se corre el riesgo de quedarse en exactamente este tipo de problema.

Tenga en cuenta que $$\begin{align}|\sin x| &= \sqrt{\sin^2 x}\\ &= \sqrt{1-\cos^2 x}\\ &= \sqrt{1-\cos x}\sqrt{1+\cos x}\\ &=\sqrt{1-\cos x}\sqrt{2-(1-\cos x)},\end{align}$$ so if you want to use $u=1-\cos x$, then $$\frac{du}{dx}=\sin x=\begin{cases}|\sin x|=\sqrt{1-\cos x}\sqrt{2-(1-\cos x)} & 0\le x\le \pi\\-|\sin x|=-\sqrt{1-\cos x}\sqrt{2-(1-\cos x)} & \pi\le x\le2\pi,\end{cases}$$ so $$\begin{align}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx &= \int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx\\ &= \int_0^\pi\frac{|\sin x|}{\sqrt{2-(1-\cos x)}}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\frac{|\sin x|}{\sqrt{2-(1-\cos x)}}\,dx\\ &= \int_0^\pi\frac{\sin x\,dx}{\sqrt{2-(1-\cos x)}}-\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x\,dx}{\sqrt{2-(1-\cos x)}}\\ &= \int_0^2\frac{du}{\sqrt{2-u}}-\int_2^0\frac{du}{\sqrt{2-u}}\\ &= 2\int_0^2\frac{du}{\sqrt{2-u}}.\end{align}$$ En ese punto, podemos usar ese antiderivada, sin necesidad de resubstitute.

Alternativamente, usted podría tomar nota de que $\cos(2\pi-x)=\cos x$, por lo que $$\begin{align}\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx &= \int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\sqrt{1-\cos x}\,dx\\ &= \int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\sqrt{1-\cos(2\pi-x)}\,dx\\ &= \int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx-\int_{2\pi}^\pi\sqrt{1-\cos(2\pi-x)}\,dx\\ &= \int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx-\int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\frac{d(2\pi-x)}{dx}\,dx\\ &= 2\int_0^\pi\sqrt{1-\cos x}\,dx,\end{align}$$ at which point you can use your $u$-substitution without fear, since the cosine function is injective on $[0,\pi]$.