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Encontrar el determinante de la siguiente matriz

¿Cuál es el factor determinante de una $n \times n$ matriz $B=A+I$ donde $I$ $n\times n$ matriz identidad y $A$ $n\times n$ matriz $$ A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \dots & a_n \\ \end{pmatrix} $$

21voto

JeanMarie Puntos 196

Aquí es una prueba de uso de los autovalores, que deseen ya has visto esta noción.

Es evidente que, como todas las columnas de a $A$ son proporcionales, el kernel tiene dimensión $n-1$, por lo tanto autovalor $0$ es de orden $n-1$.

La suma de los autovalores de ser igual a la traza $\sum_i a_i$, $n$- ésimo valor propio es:

$$\lambda:=\sum_i a_i.$$

Así como el espectro de $A+xI$ es igual a la del espectro de $A$ desplazado por x (aquí con $x=1$), que se compone de $1$ (con multiplicidad $n-1$) y $\lambda+1$.

El determinante de una matriz es igual al producto de sus valores propios, el resultado final es:

$$\det(A+I)=1+\sum_i a_i$$

15voto

El uso de Sylvester determinante de la identidad,

$$\det (\mathrm I_n + 1_n \mathrm a^{\top}) = \det (1 + \mathrm a^{\top} 1_n) = 1 + \mathrm a^{\top} 1_n = 1 + \sum_{i=1}^n a_i$$

10voto

Peter Hession Puntos 186

Primer vistazo a lo que sucede cuando $n=2$, $n=3$, el cambio de nombre de nuestra matriz $B_n(a_1,\cdots,a_n)$ uno se

$$\begin{align}\det{B_2(a_1,a_2)}&=1+a_1+a_2\\\det{B_3(a_1,a_2,a_3)}&=1+a_1+a_2+a_3\end{align}$$

Suponga que $\det{B_{n-1}(a_1,\cdots,a_{n-1})}=1+a_1+\cdots a_{n-1}$ y considerar

$$\begin{vmatrix}1+a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ a_1 & 1+a_2 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1 & a_2 & \cdots & 1+a_n \end{vmatrix}$$

Restar la segunda fila de la primera para obtener

$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ a_1 & 1+a_2 & a_3 &\cdots & a_n\\ a_1 & a_2 & 1+a_3 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1 & a_2 & a_3 &\cdots & 1+a_n \end{vmatrix}$$

A continuación, agregue la primera columna a la segunda y obtener

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ a_1 & 1+a_1+a_2 & a_3 &\cdots & a_n\\ a_1 & a_1+a_2 & 1+a_3 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1 & a_1+a_2 & a_3 &\cdots & 1+a_n \end{vmatrix}$$

El desarrollo a lo largo de la primera fila de uno se

$$\det{B_n(a_1,\cdots,a_n)}=\det{B_{n-1}(a_1+a_2,\cdots ,a_n)}$$

Y esto por la hipótesis de inducción es $$1+a_1+a_2+\cdots+a_n$$

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