Lo que está mal con este uso de las expansiones de Taylor?

Question

Estoy tratando de encontrar el valor de los siguientes límites: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2\cos x - \sin(x\sin x)}{x^4} $$ Que yo sepa es igual a $-\dfrac13$.

Traté de hacer lo siguiente: $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^4)) - \sin(x(x + o(x^3)))}{x^4}\\ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4) - \sin(x^2 + o(x^4)))}{x^4}\\ = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4) - x^2 + o(x^4)}{x^4} = -\frac12 $$ El resultado es claramente errónea. Sospecho que el error en la expansión de $\sin (x \sin x)$ pero no lo entiendo.

Qué tiene de malo?

Answer 1

Sugerencia $$\sin(x\sin(x))=x^2-\frac{x^4}{6}+O\left(x^5\right)$$ de ayuda.

De hecho, y esto es una regla general, si el denominador es $x^n$, se debe desarrollar el numerador, al menos, a fin de $n$.

Answer 2

Puesto que usted ha $x^4$ en el denominador, se necesita ampliar el numerador a a $x^4$. Usted hizo por $x^2\cos x$, pero no por $\sin (x \sin x)$.

Así, es necesario incluir términos a a $x^4$ en la expansión de $\sin (x \sin x)$: $$\sin (x \sin x) = x^2-x^4/6+o(x^6)$$ Esto viene de $$\sin (x) = x-x^3/6+o(x^5)$$ $$x\sin (x) = x^2-x^4/6+o(x^6)$$ que luego alimentan a $$\sin (y) = y+o(y^3)$$

Answer 3

Sospecho que el error en la expansión de $~\sin(x\sin x),$ pero no lo entiendo. Qué tiene de malo ?

Su error consiste en el uso de la doble aproximación $\sin(x\sin x)\simeq x\sin x\simeq x^2,$ mediante la aplicación de

$\sin t\simeq t$ dos veces en lugar de sólo una vez, dando lugar a la más precisa $\sin(x\sin x)\simeq x\sin x.$ El último

conduce a $~\lim\limits_{x\to0}~\dfrac{\cos x-\dfrac{\sin x}x}{x^2}=-\dfrac13,~$ que es diferente de $~\lim\limits_{x\to0}~\dfrac{\cos x-\color{red}1}{x^2}=-\dfrac12.$