Demuestra que la ecuación $z^3[\exp(1-z)]=1$ tiene exactamente $2$ raíces dentro de $|z|=1$. He intentado aplicar el Teorema de Rouche, sin obtener ningún resultado...
Sea $g(x)=x^3\exp(1-x)$. Mostramos fácilmente que $g$ es estrictamente creciente en $[1,3]$, por lo tanto $g(x)>1$ para $x>1$ cercano a $1.
Ahora, sea $\rho>1$ cercano a $1$. Sea $h(z)=z^3\exp(1-z)$, $f(z)=h(z)-1$. En $|z|=\rho$, tenemos $|f(z)-h(z)|=1$, y con $z=x+iy$, $|h(z)|=\rho^3\exp(1-x)\geq \rho^3\exp(1-\rho)>1$. Por lo tanto, el teorema de Rouché muestra que $f(z)=0$ tiene exactamente $3$ soluciones en $|z|\leq \rho$. Pero una de ellas es $z=1$ (es fácil ver que $z=1$ es una raíz simple), por lo tanto quedan dos soluciones. Como $\rho$ puede ser cercano a $1$, vemos que estas dos soluciones verifican $|z|\leq 1$. Supongamos que una de ellas tiene $|z|=1$. Luego $|z^3\exp(1-z)|=1=\exp(1-x)$ muestra que $x=1$, y $z=1$. Por lo tanto, las dos soluciones están en $|z|<1$. Hemos terminado.
Gracias por tu respuesta: Pero Rouche's implicaría que f(z) y h(z) tienen ese mismo número de ceros dentro de |z|< rho, pero ¿por qué h(z)=0 tiene 3 soluciones dentro de |z|
Dado que $\rho\to1$, $h(z)$ tiene 3 ceros en $|z|=1$. Menos $z=1$, tiene 2 ceros en $|z|<1$.
@herashefat: En el teorema de Rouché, los ceros se cuentan con su multiplicidad. Aquí el cero $z=0$ se cuenta tres veces en $h(z)$. Los ceros de $f(z)$ son todos simples (calcula la derivada). Intenta con el ejemplo más simple $z^3,z^3-1$ dentro del disco $|z|<2$.
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Si tomas valores absolutos, verás que $\vert exp(1-z) \vert=1$.
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¿Cómo ayuda esto??
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@user60589 Pero no estamos interesados en resolver la ecuación para $|z| = 1$, estamos interesados en las soluciones en $|z|<1$.