La ecuación compleja tiene dos raíces dentro de $|z|=1$

Question

Demuestra que la ecuación $z^3[\exp(1-z)]=1$ tiene exactamente $2$ raíces dentro de $|z|=1$. He intentado aplicar el Teorema de Rouche, sin obtener ningún resultado...

Answer 1

Sea $g(x)=x^3\exp(1-x)$. Mostramos fácilmente que $g$ es estrictamente creciente en $[1,3]$, por lo tanto $g(x)>1$ para $x>1$ cercano a $1.

Ahora, sea $\rho>1$ cercano a $1$. Sea $h(z)=z^3\exp(1-z)$, $f(z)=h(z)-1$. En $|z|=\rho$, tenemos $|f(z)-h(z)|=1$, y con $z=x+iy$, $|h(z)|=\rho^3\exp(1-x)\geq \rho^3\exp(1-\rho)>1$. Por lo tanto, el teorema de Rouché muestra que $f(z)=0$ tiene exactamente $3$ soluciones en $|z|\leq \rho$. Pero una de ellas es $z=1$ (es fácil ver que $z=1$ es una raíz simple), por lo tanto quedan dos soluciones. Como $\rho$ puede ser cercano a $1$, vemos que estas dos soluciones verifican $|z|\leq 1$. Supongamos que una de ellas tiene $|z|=1$. Luego $|z^3\exp(1-z)|=1=\exp(1-x)$ muestra que $x=1$, y $z=1$. Por lo tanto, las dos soluciones están en $|z|<1$. Hemos terminado.