Límites en la categoría de conos.

Question

Estoy intentando hacer el ejercicio 2.17.2 del "Manual de Álgebra Categórica" de Borceux:

Consideremos un functor $F: \mathfrak{D} \to \mathfrak{C}$ y la categoría de conos en $F$ . Demostrar que $F$ tiene un límite si y sólo si el functor $U$ de la categoría de conos en $F$ a $\mathfrak{C}$ que asigna un cono a su vértice tiene un colímite.

Esto es lo que he pensado, sin embargo no estoy seguro de si debería adoptar un enfoque diferente o simplemente rellenar los huecos de la prueba. Espero que me puedan ayudar:

$\Rightarrow$ Si $F$ tiene un límite $L$ sabemos que el límite es un objeto terminal en la categoría de conos en $F$ Así que el functor de inclusión es un functor final. Y obtenemos el resultado.

$\Leftarrow$ Supongamos ahora que $U$ tiene un colímite $L$ Ahora arreglamos algunos $D \in \mathfrak{D}$ y existen morfismos desde cada vértice del cono hacia $FD$ . Esto hace que $FD$ el vértice de un cocón $\implies \exists ! ~ \alpha_D: L \to FD$ .

Así que $(L, \alpha_D)$ es un cono tal que para cualquier otro cono $C_i, ~ \exists ~ h_i: C_i \to L$ . ¿Cómo puedo demostrar la unicidad de la factorización?

PD: He editado la primera implicación porque he encontrado una proposición que me ha ayudado. Así que sólo tengo que terminar la última.

Answer 1

La clave conceptual es que un objeto terminal en una categoría es lo mismo que un colímite para toda la categoría (es decir, un colímite para el functor de identidad en la categoría como un diagrama en esa categoría).

Para ver esto note la mera existencia de un co-cono desde una categoría completa a uno de sus objetos $T$ muestra $T$ es débilmente terminal y el componente co-cono $c_T:T\rightarrow T$ coiguala cualquier par de flechas $f,g:A\rightarrow T$ en la categoría. Pero entonces $c_T$ induce un mapa co-cono desde el co-cono a sí mismo, por lo que la propiedad colímite dice que es la identidad en $T$ . Así que no puede haber flechas distintas $f\neq g:A\rightarrow T$ en la categoría.

Como usted dice, un límite para $F$ es un objeto terminal en la categoría de conos en $F$ . Así que es un colímite para el diagrama de identidad en esa categoría. Así que hay que demostrar que un colímite para el diagrama de identidad en la categoría de conos equivale a lo mismo que un colímite para el diagrama de vértices de esos conos en $\mathfrak{C}$ . Eso se deduce rápidamente del razonamiento que has hecho, mostrando un colímite $L$ para el diagrama de vértices es el vértice de un cono $(L, \alpha_D)$ en $F$ .