¿EDP de un orden superior a tres?

Question

Motivación para la pregunta: Sé muy poco sobre la teoría general de EDPs. Estoy trabajando en un proyecto que necesita ejemplos de EDPs como la ecuación de Laplace. El siguiente paso es mirar EDPs de orden superior en mi investigación. Tengo algunos textos de EDP y esperaba encontrar más ejemplos, pero he notado que la mayoría de mis libros de EDP se centran principalmente en EDPs de segundo orden en varios espacios dimensionales (por ejemplo, $n=2$: $u_{xx}+u_{yy}=0$, o $n=3$: $u_{xx}+u_{yy}=u_{tt}$).

Mi pregunta es la siguiente: ¿Las ecuaciones de orden superior (como $u_{xxx}=u_{tt}$, para dar un ejemplo tonto) tienen una teoría bien desarrollada?

En el caso de las EDOs soy consciente de que podemos reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden, por lo que las soluciones al problema de orden $n$ están provistas por la teoría de primer orden.

¿Existe una historia similar para las EDPs? ¿O es solo que las EDPs de orden superior son menos interesantes?

¡Gracias de antemano por cualquier tipo de claridad!

Answer 1

El primer ejemplo que me viene a la mente es la ecuación de placa fijada, que es de 4to orden. Para ver cómo los ingenieros la abordan, haz clic aquí. Más en general, cualquier vez que tu modelo requiera valores prescritos y una derivada prescrita en el límite, probablemente estarás tratando con una EDP de orden superior a $2$. Para ecuaciones de segundo orden, tales problemas de valor en la frontera están sobredeterminados.

También existe un método general para el problema de Dirichlet de operadores elípticos de cualquier orden, es decir, uno puede utilizar La desigualdad de Gårding para verificar la asunción de coercitividad en el teorema de Lax-Milgram.

Por otro lado, un artículo reciente de uno de mis colegas comienza con una declaración seria

No hay nada en la teoría de operadores diferenciales lineales fuertemente elípticos [de órdenes superiores] que pueda ser llamado un teorema de existencia general para soluciones al problema de Neumann.

En el lado positivo, la transformada de Fourier es muy útil para EDP lineales de todos los órdenes, especialmente en lo que respecta a la regularidad de las soluciones. El tamaño mismo del tratado de 4 volúmenes de Hörmander "El análisis de operadores diferenciales parciales lineales" sugiere que hay algo muy bien desarrollado allí.

Una de las cosas que hace que las ecuaciones de segundo orden sean más fáciles de tratar es el hecho de que la prueba de cálculo para máximos/mínimos es la prueba de la segunda derivada. El principio del máximo es fundamental en la teoría de ecuaciones elípticas de 2do orden. En contraste, el principio máximo de Hadamard para la ecuación biarmónica no llega muy lejos (ver página 2 del documento).

Answer 2

Para algunas observaciones sobre cómo es la historia general, es posible que desee consultar el artículo del Princeton Companion sobre ecuaciones diferenciales parciales. Personalmente, no tengo mucho que decir al respecto, así que solo mencionaré dos ejemplos.

La ecuación de Korteweg-de Vries es de interés para las personas que trabajan en sistemas integrables (hay otros ejemplos en ese enlace). Entiendo que tiene algunas conexiones interesantes con la geometría algebraica.

Otro ejemplo (realmente una familia de ejemplos) es el siguiente. Sea $G$ un grupo de Lie que actúa suavemente sobre una variedad suave $M$. Esto induce un mapa del álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ al álgebra de Lie de campos vectoriales suaves en $M$, lo que induce una acción del álgebra envolvente universal $U(\mathfrak{g})$ de $\mathfrak{g}$ en $C^{\infty}(M)$ mediante operadores diferenciales. Elija $D \in U(\mathfrak{g})$. Entonces puedes escribir la ecuación diferencial $$Df = 0$$

donde $f \in C^{\infty}(M)$. Esta ecuación diferencial debería tener un orden igual al grado de $D$ (con respecto a la filtración usual en $U(\mathfrak{g})$). El espacio de soluciones a esta ecuación diferencial es actuado por el subgrupo de $G$ que conmuta con $D$. En particular, si $D$ yace en el centro, el espacio de soluciones es actuado por todo $G$.

Para un ejemplo muy simple, deja que $\mathbb{R}$ actúe sobre sí mismo por traslación. Luego $\mathfrak{g}$ está generado por la diferenciación ordinaria $D$, el álgebra envolvente universal $U(\mathfrak{g})$ son polinomios en $D$, y las ecuaciones diferenciales correspondientes que puedes escribir son todas EDO lineales homogéneas con coeficientes constantes, todas las cuales admiten una acción de $G$ (nuevamente por traslación). Escribir esta acción explícitamente da generalizaciones de las fórmulas de adición de ángulos (que obtienes en el caso especial $D^2 + 1$).

Para un ejemplo no abeliano, deja que $\text{SO}(3)$ actúe en $\mathbb{R}^3$ por rotación. Luego la imagen de $\mathfrak{g} = \mathfrak{so}(3)$ en campos vectoriales en $\mathbb{R}^3$ está generada por

$$L_x = y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}$$ $$L_y = z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z}$$ $$L_z = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}.$$

Estos campos vectoriales generan rotación alrededor de los ejes $x, y, z$ respectivamente. El operador de Casimir $$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$$

resulta generar el centro de $U(\mathfrak{so}(3))$, por lo que el espacio de soluciones de la ecuación diferencial $p(L^2) f = 0$ para cualquier polinomio $p$ es actuado por todo $\text{SO}(3)$ y tiene orden $2 \deg p$.